Question

（2013•德惠市二模）如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥AB，AD=4cm，DC=6cm，CB=5cm．點P從點B出發(fā)，以1cm/s的速度沿線段BA向點A勻速運動；與此同時，點Q從點A出發(fā)，以2cm/s的速度沿折線AD-DC勻速運動，過點P作PM⊥AB交折線BC-CD于點M，連接QM，PQ，當其中一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動時間為t（s），△PQM的面積為S（cm²）．

（1）求線段AB的長．
（2）求Q，M兩點相遇時t的值．
（3）當點Q在線段CD上運動時，求S與t的函數(shù)關系式，并求S的最大值．
（4）設點N為線段PQ的中點，當點Q在線段AD上運動時，點N所經(jīng)過的路徑是一條線段；當點Q在線段CD上運動時，點N所經(jīng)過的路徑也是一條線段．則這兩條線段長分別為

5

cm，

1.5

cm．

Answer 1

分析：（1）如圖1，過點C作CE⊥AB于E，就可以得出四邊形AECD是矩形，就有CE=AD=4，再由勾股定理就可以求出EB的值，從而得出結論；
（2）如圖2，當Q，M兩點相遇時DQ=AP=12-PB，得出方程2t-4=9-t，求出其解即可；
（3）當Q點在CD上運動時，分三種情況，如圖4，如圖5，如圖6，由三角形的面積公式和梯形的面積公式就可以求出結論；
（4）如圖7，當點Q在線段AD上運動時，PQ的中點N所經(jīng)過的路徑為EN，E為PQ的中點，過點E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，由勾股定理就可以求出EN的值，如圖8，當點Q在線段CD上運動時，PQ的中點N所經(jīng)過的路徑為EN，E為DH的中點，過點H作HG∥PQ交DC的延長線于點G，取HG的中點F，連接EF，NF，由三角形的中位線的性質(zhì)就可以得出結論．

解答：解：（1）如圖1，過點C作CE⊥AB于E，
∴∠AEC=∠BEC=90°．
∵AD⊥AB，
∴∠A=90°．
∵AB∥CD，
∴∠D+∠A=180°，
∴∠D=90°，
∴四邊形AECD是矩形，
∴AD=CE=4cm，AE=CD=6cm．
在Rt△BEC中，由勾股定理，得
BE=3cm，
∴AB=6+3=9cm．
答：線段AB的長9cm；
（2）如圖2，當Q，M兩點相遇時
∵DQ=AP=9-PB，
∴2t-4=9-t，
∴t=

13

3

；
答：Q，M兩點相遇時t=

13

3

；
（3）當2≤t＜3時，如圖4，作QE⊥AB于E，
∴∠AEQ=90°．
∴四邊形AEQD是矩形，
∴AD=EQ=4cm，DQ=AE=2t-4，PE=9-t-（2t-4）=13-3t．
∵tan∠B=

4

3

，
∴

PM

PB

=

4

3

，
∴

PM

t

=

4

3

，
∴PM=

4

3

t．
∴S=

( 4 3 t+4)(13-3t)

2

-

4(13-3t)

2

，
=-2t²+

26

3

t．
S=-2（t²-

13

3

t）=-2[t²-

13

3

t+（

13

6

）²-

169

36

]=-2（t-

13

6

）²+

169

18

，
∴S的最大值為

169

18

cm²；
如圖5，當，3≤t＜

13

3

時，
QM=9-t-（2t-4）=13-3t，
S=

4(13-3t)

2

=-6t+26，
∴當t=3時，S_最大=8cm²；
如圖6，當3≤

13

3

≤5時，
AP=DM=9-t，
∴QM=2t-4-（9-t）=3t-13，
∴S=

4(3t-13)

2

=6t-26，
∴當t=5時，S最大=4cm²．
∵

169

18

＞8＞4，
∴S的最大值為

169

18

cm²；
（4）如圖7，當點Q在線段AD上運動時，PQ的中點N所經(jīng)過的路徑為EN，E為PQ的中點，過點E作EG⊥AD于G，EF⊥AB于F，
∴∠AGE=∠AFE=90°，
∴四邊形AFEG是矩形，
∴EG=AF，EF=AG，EG∥AF，EF∥AG．
∵E是PQ的中點，F(xiàn)是AP的中點，
∴G是AD的中點，F(xiàn)是AP的中點
∴EG是△ADP的中位線，EF是△ADP的中位線，
∴EF=

1

2

AD=2，AF=GF=

1

2

AP=

1

2

（9-2）=3.5cm．
∵N是AB的中點，
∴AN=

1

2

AB=4.5cm，
∴FN=4.5-3.5=1cm．
在Rt△FEN中，由勾股定理，得
EN=

5

cm；
如圖8，當點Q在線段CD上運動時，PQ的中點N所經(jīng)過的路徑為EN，E為DH的中點，過點H作HG∥PQ交DC的延長線于點G，取HG的中點F，連接EF，NF，
∴四邊形PHGC是平行四邊形，EF是△GDH的中位線，
∴EF∥DG，EF=

1

2

DG，PC=HG，CG=PH．
∵N為PC的中點，F(xiàn)是HG的中點，
∴CN=

1

2

PC，F(xiàn)G=

1

2

HG，
∴CN=FG．
∵CN∥GF，
∴四邊形NFGC是平行四邊形，
∴NF∥CG，CG=NF=PH，
∴E、N、F三點共線．
∵PB=5，HB=2cm，
∴PH=3cm，
∴CG=NF=3cm，
∴CG=9cm，
∴EF=

1

2

×9=4.5cm．
∴EN=1.5cm．
故答案為：

5

，1.5

點評：本題是一道幾何動點問題，考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，梯形的面積公式的運用，三角形的面積公式的運用，三角形的中位線的判定及性質(zhì)的運用，函數(shù)的解析式的運用，分類討論思想的運用，解答時合理運用三角形的中位線的性質(zhì)是關鍵．