Question

（2013•鹽城）如圖，在以點(diǎn)O為原點(diǎn)的平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=-

1

2

x+1的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在直線AB上，且OC=

1

2

AB，反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C，則所有可能的k值為

1

2

或-

11

50

．

．

Answer 1

分析：首先求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，然后由“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”確定點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，據(jù)此可以求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，把點(diǎn)C的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式即可求得k的值．
另外，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓，與直線AB有另外一個(gè)交點(diǎn)C′，點(diǎn)C′也符合要求，不要遺漏．

解答：解：在y=-

1

2

x+1中，令y=0，則x=2；令x=0，得y=1，
∴A（2，0），B（0，1）．
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

5

．
設(shè)∠BAO=θ，則sinθ=

5

5

，cosθ=

2 5

5

．
當(dāng)點(diǎn)C為線段AB中點(diǎn)時(shí)，有OC=

1

2

AB，
∵A（2，0），B（0，1），
∴C（1，

1

2

）．
以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓，與直線AB的另外一個(gè)交點(diǎn)是C′，則點(diǎn)C、點(diǎn)C′均符合條件．
如圖，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，則AE=OA•cosθ=2×

2 5

5

=

4 5

5

，
∴EC=AE-AC=

4 5

5

-

5

2

=

3 5

10

．
∵OC=OC′，∴EC′=EC=

3 5

10

，∴AC′=AE+EC′=

4 5

5

+

3 5

10

=

11 5

10

．
過(guò)點(diǎn)C′作CF⊥x軸于點(diǎn)F，則C′F=AC′•sinθ=

11 5

10

×

5

5

=

11

10

，
AF=AC′•cosθ=

11 5

10

×

2 5

5

=

11

5

，
∴OF=AF-OA=

11

5

-2=

1

5

．
∴C′（-

1

5

，

11

10

）．
∵反比例函數(shù)y=

k

x

的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)C或C′，1×

1

2

=

1

2

，-

1

5

×

11

10

=-

11

50

，
∴k=

1

2

或-

11

50

．
故答案為：

1

2

或-

11

50

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題．注意符合條件的點(diǎn)C有兩個(gè)，需要分別計(jì)算，不要遺漏．