Question

如圖所示，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，多邊形PBCQ的一直角頂點(diǎn)P自A沿AC方向運(yùn)動(dòng)，一條直角邊恒過(guò)點(diǎn)B，另一條直角邊與DC恒有公共點(diǎn)Q，圖形PBCQ的最小面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：計(jì)算題

分析：利用同角的余角相等得到一對(duì)角相等，再由一對(duì)直角相等，且?jiàn)A邊PT=PN，利用ASA得到三角形PBT與三角形PQN全等，得到四邊形PBCQ面積=三角形PBT面積+四邊形PTCQ=三角形PQN面積+四邊形PTCQ面積=正方形PTCN面積，進(jìn)而得到Q與C重合，即BP垂直于AC時(shí)，四邊形PBCQ面積最小，且等于正方形ABCD面積的四分之一，求出即可．

解答：解：∵∠BPT+∠TPQ=90°，∠TPQ+∠QPN=90°，
∴∠BPT=∠QPN，
在△PBT和△PQN中，

∠BPT=∠QPN PT=PN ∠PTB=∠PNQ=90°

，
∴△PBT≌△PQN（ASA），
∴S_{四邊形PBCQ}=S_△PBT+S_{四邊形PTQC}=S_△PQN+S_{四邊形PTQC}=S_{正方形PTCN}，
則當(dāng)Q與C重合，即BP⊥AC時(shí)，S_{四邊形PBCQ}=

1

4

S_{正方形ABCD}=

1

4

．
故答案為：

1

4

點(diǎn)評(píng)：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．