Question

如圖，E是正方形ABCD的邊BC上一點，下列條件中：①∠BAE=∠CEF；②∠AEB=∠EFC；③AE⊥EF④

AB

EC

=

BE

CF

．能使△ABE∽△ECF的有（　�。�

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：由四邊形ABCD為正方形，利用正方形的性質四個角為直角，可得出∠B=∠C=90°，若∠BAE=∠CEF，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若∠AEB=∠EFC，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AE垂直于EC，根據平角的定義可得出一對角互余，再由直角三角形ABE的兩個銳角互余，利用同角的余角相等可得出一對角相等，再由∠B=∠C=90°，利用兩對對應角相等的三角形相似可得出三角形ABE與三角形ECF相似；若AB：EC=BE：CF，加上夾角∠B=∠C，利用兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似，可得出三角形ABE與三角形ECF相似，綜上，得出四個選項都能使三角形ABE與三角形ECF相似．

解答：解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴∠B=∠C=90°，
若∠BAE=∠CEF，可得△ABE∽△ECF，
則選項①能使△ABE∽△ECF；
若∠AEB=∠EFC，可得△ABE∽△ECF，
則選項②能使△ABE∽△ECF；
若AE⊥EF，可得∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
又∵∠B=90°，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
又∵∠B=∠C=90°，
∴△ABE∽△ECF，
則選項③能使△ABE∽△ECF；
若

AB

EC

=

BE

CF

，再由夾角∠B=∠C=90°，可得出△ABE∽△ECF，
則選項④能使△ABE∽△ECF，
綜上，能使△ABE∽△ECF的選項有①②③④，共4個．
故選D

點評：此題考查了正方形的性質，相似三角形的判定，利用了轉化的數(shù)學思想，相似三角形的判定方法有：兩對對應角相等的兩三角形相似；兩邊對應成比例且夾角相等的兩三角形相似；三邊對應成比例的兩三角形相似．