Question

（2009•邯鄲二模）如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，連接AD，下列結(jié)論：①CD=BD；②DE為⊙O的切線；③△ADE∽△ACD；④AD²=AE•AC，其中正確結(jié)論個(gè)數(shù)（　　）

A．1個(gè)

B．2個(gè)

C．3個(gè)

D．4個(gè)

Answer 1

分析：由AC為圓的直徑可得：∠ADC=90°，即AD與BC垂直，又AB=AC，利用三線合一可得BD=CD；連接OD證明OD⊥DE即可證得DE為⊙O的切線；再有由兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等得到三角形ADE與三角形ACD相似，根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例得到選項(xiàng)④正確，從而得到所有正確選項(xiàng)的個(gè)數(shù)．

解答：解：∵AC為圓的直徑，
∴∠ADC=90°，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴BD=CD；
故選項(xiàng)①正確；
連接OD，∵D為BC中點(diǎn)，O為AB中點(diǎn)，
∴DO為△ABC的中位線，
∴OD∥AC，
又DE⊥AC，∴∠DEA=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE為圓O的切線，選項(xiàng)②正確；
由D為BC中點(diǎn)，且AD⊥BC，
∴AD垂直平分BC，
∴AC=AB，又OA=

1

2

AB，
∴OA=

1

2

AC，
∵∠DAC=∠EAD，∠DEA=∠CDA=90°，
∴△ADE∽△ACD，選項(xiàng)③正確；
∴

AD

AC

=

AE

AD

，即AD²=AE•AB，選項(xiàng)④正確；
則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為4個(gè)．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定，及三角形的中位線定理．證明切線時(shí)連接OD是解這類題經(jīng)常連接的輔助線．