Question

如圖，大海中有A和B兩個島嶼，為測量它們之間的距離，在海岸線PQ上點E處測得∠AEP=74°，∠BEQ=30°；在點F處測得∠AFP=60°，∠BFQ=60°，EF=1km．
（1）判斷AB，AE的數量關系，并說明理由；
（2）求兩個島嶼A和B之間的距離（結果精確到0.1km）．
（參考數據：≈1.73，cos74°≈0.28，tan74°≈3.49，sin76°≈0.97，cos76°≈0.24）

Answer 1

解：（1）相等．
理由如下：
∵∠BEQ=30°，∠BFQ=60°，
∴∠EBF=30°，EF=BF．
又∵∠AFP=60°，∴∠BFA=60°．
在△AEF與△ABF中，
EF=BF，∠AFE=∠AFB，AF=AF，
∴△AEF≌△ABF，
∴AB=AE．

（2）方法一：作AH⊥PQ，垂足為H．
設AE=x，
則AH=xsin74°，HE=xcos74°，
HF=xcos74°+1．
Rt△AHF中，AH=HF•tan60°，
∴xsin74°=（xcos74°+1）•tan60°，
即0.96x=（0.28x+1）×1.73，
解得x≈3.6，即AB≈3.6．
答：兩個島嶼A與B之間的距離約為3.6km．
方法二：設AF與BE的交點為G．
在Rt△EGF中，∵EF=1，∴EG=．
在Rt△AEG中，
∠AEG=76°，AE=EG÷cos76°=÷0.24≈3.6km，
∵AE=AB，
∴兩個島嶼A和B之間的距離是3.6km，
答：兩個島嶼A與B之間的距離約為3.6km．
分析：（1）根據SAS即可證明△AEF≌△ABF，得到AB=AE；
（2）作AH⊥PQ，垂足為H．設AE=x，在直角△AHF，直角△AEP中，利用三角函數表示出HE與HF，從而可得到關于x的方程，解方程即可得解．
點評：本題主要運用了三角函數，把求線段成的問題轉化為方程求解的問題．