Question

如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，對(duì)角線AC⊥BD，延長BC至E點(diǎn)，使CE=AD，連接DE．
（1）求∠ACE的度數(shù)；
（2）若AD+BC=10cm，求△BDE的面積．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)AD∥BC，CE=AD判斷出四邊形ACED為平行四邊形，故可得出DE∥AC，DE=AC，由四邊形ABCD是等腰梯形可知AC=BD，BD=DE，∠E=∠DBE，再根據(jù)AC⊥BD，AC∥DE可判斷出△BDE是等腰直角三角形，故∠E=45°，再由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；
（2）由AD=CE可知BE=BC+CE=BC+AD=10cm，在Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²+DE²=BE²，由BD=DE，可知BD²=50，再由三角形的面積公式即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）∵AD∥BC，CE=AD，
∴四邊形ACED為平行四邊形
∴DE∥AC，DE=AC                                           
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，
∴BD=DE，
∴∠E=∠DBE，
∵AC⊥BD，AC∥DE，
∴DE⊥BD，
∴∠BDE=90°，
∴∠E=45°         
∵DE∥AC，
∴∠E+∠ACE=180°，
∴∠ACE=135°                 

（2）∵AD=CE，
∴BE=BC+CE=BC+AD=10cm，
∴Rt△BDE中，由勾股定理得：BD²+DE²=BE²，
又∵BD=DE，
∴BD²=50，
∴S_△BDE=

1

2

BD•DE=

1

2

BD2=25cm²．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是等腰梯形的性質(zhì)及等腰直角三角形的判定定理，熟知等腰梯形的兩底角相等是解答此題的關(guān)鍵．