Question

△ABC為不等邊三角形．∠A及其外角平分線分別交對邊中垂線于A₁，A₂，同樣得到B₁，B₂，C₁，C₂．求證：A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂．

Answer 1

證明：連接A₁B，A₁C，過A₁做A₁F⊥AC于F，A₁E⊥AB于E，
∵連接A₁B、A₁C，
∵AA₁平分∠BAC，
∴A₁E=A₁F，
∵A₁在BC的中垂線上，
∴A₁B=A₁C，
∵∠BEA₁=∠CFA₁=90°，
∴Rt△A₁EB～Rt△A₁FC，
∴∠ABA₁=∠A₁CF，
∵∠A₁CF+∠ACA₁=180°，
∴∠ABA₁+∠ACA₁=180°，
∴A、B、A₁、C四點共圓，
同理A、A₂、B、C四點共圓，
從而知A₁、A₂都在△ABC的外接圓上，
∵AA₁平分∠BAC，AA₂平分∠MAB，
∴∠A₂AA₁=×180°=90°，
∴A₁A₂是△ABC的外接圓的直徑，
同理可證：B₁B₂、C₁C₂也是ABC的外接圓的直徑，
∴A₁A₂=B₁B₂=C₁C₂．
分析：作輔助線連接A₁B，A₁C，過A₁做A₁F⊥AC于F，A₁E⊥AB于E，得到∠ABA₁+∠ACA₁=180°，進一步推出A、B、A₁、C四點共圓，A、A₂、B、C四點共圓，即A₁、A₂都在△ABC的外接圓上，推出∴A₁A₂是△ABC的外接圓的直徑，B₁B₂、C₁C₂也是ABC的外接圓的直徑，即可得出答案．
點評：本題主要考查了四點共圓，三角形的外接圓與外心，圓周角定理，確定圓的條件，三角形的角平分線等知識點，通過作輔助線得到A₁、A₂都在△ABC的外接圓上是解此題的關鍵．