Question

如圖，在直角坐標系中，點A的坐標為（0，4），⊙M經(jīng)過O、A兩點，交x軸于點N．
（1）如圖1，若ON=3，設(shè)△AON的內(nèi)心為I，過I作IB⊥AN于B，則AB-BN的值為

1

．
（2）如圖2，若∠NAO=30°，在E在⊙M上，且△AOE為等邊三角形，P為劣弧AE上一點，且∠EOP=45°，求OP-AP的值；
（3）如圖3，在（2）的條件下，將一塊含30°角的三角板的60°角的頂點置于N點，角的兩邊分別交AE、AO與G、H．當此三角板任意旋轉(zhuǎn)時，△AGH的周長是否變化？若變化，請說明理由，若不變，請證明并求出值．

Answer 1

分析：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，先根據(jù)勾股定理計算出AN=5，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)和切線長定理可得到OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，利用AN+NB=4-r+3-r=5可計算出r=1，則AB=3，NB=2，于是得到AB-BN=1；
（2）在OP上截取OF=AP，作直徑EQ，連結(jié)PC，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得AE=OE，∠OAE=60°，根據(jù)“SAS”可判斷△AEP≌△OEF，得到EP=EF；根據(jù)圓周角定理得到∠EPO=∠OAE=60°，可判斷△EFP為等邊三角形，得PF=PE，所以O(shè)P-AP=OP-OF=PF=PE，在Rt△PNO中利用含30度的直角三角形三邊的關(guān)系可求出直徑AN=

8 3

3

，再根據(jù)圓周角定理得到∠PQE=∠EOP=45°，∠EPQ=90°，得到△PEQ為等腰直角三角形，于是可得到PE=

2

2

EQ=

4 6

3

，所以O(shè)P-AP=

4 6

3

；
（3）延長AE到k使EK=OH，連結(jié)NE，先利用“SAS”證明△NOH≌△NEK，得到NH=NK，∠HNO=∠KNE；根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得∠ENO+∠EAO=180°，則∠ENO=120°，由∠GNH=60°得到∠ENG+∠ONH=60°，則∠GNK=60°，于是可根據(jù)“SAS”判斷△GNK≌△GNH，則GK=GH，然后計算△AGH的周長，得到△AGH的周長AG+GH+AH，再進行等相等代換得到△AGH的周長=2AO．

解答：解：（1）作IC⊥OA于C，ID⊥ON于D，如圖1，
∵點A的坐標為（0，4），
∴AO=4，
而ON=3，
∴AN=

OA2+ON2

=5，
∵△AON的內(nèi)心為I，設(shè)⊙I的半徑為r，
∴IB=IC=ID=r，且B點、C點和D點為⊙I與△AON各邊相切的切點，
∴OC=OD=r，AC=AB=4-r，NB=ND=3-r，
∴AN+NB=4-r+3-r=5，解得r=1，
∴AB=4-1=3，NB=3-1=2，
∴AB-BN=3-2=1．
故答案為1；

（2）在OP上截取OF=AP，作直徑EQ，連結(jié)PC，如圖2，
∵△AOE為等邊三角形，
∴AE=OE，∠OAE=60°，
在△AEP和△OEF中

AP=OF ∠PAE=FOE AE=OE

，
∴△AEP≌△OEF（SAS），
∴EP=EF，
而∠EPO=∠OAE=60°，
∴△EFP為等邊三角形，
∴PF=PE，
∴OP-AP=OP-OF=PF=PE，
在Rt△PNO中，OA=4，∠NAO=30°，
∴ON=

3

3

OA=

4 3

3

，
∴AN=2ON=

8 3

3

，
∵∠AON=90°，
∴AN為⊙M的直徑，
∵∠PQE=∠EOP=45°，
而EQ為⊙M的直徑，
∴∠EPQ=90°，
∴△PEQ為等腰直角三角形，
∴PE=

2

2

EQ=

2

2

×

8 3

3

=

4 6

3

，
∴OP-AP=

4 6

3

；

（3）△AGH的周長不變．理由如下：
延長AE到k使EK=OH，連結(jié)NE，如圖3，
∵AN為⊙M的直徑，
∵∠AEN=90°，
∵∠EAO=60°，∠NAO=30°，
∴NE=NO=

1

2

AN，AO=AE=

3

ON，
在△NOH和△NEK中，

NO=NE ∠NOH=∠NEK OH=KE

，
∴△NOH≌△NEK（SAS），
∴NH=NK，∠HNO=∠KNE，
∵∠ENO+∠EAO=180°，
∴∠ENO=180°-60°=120°，
而∠GNH=60°，
∴∠ENG+∠ONH=60°，
∴∠ENG+∠KNE=60°，即∠GNK=60°，
在△GNK和△GNH中，

Nk=NH ∠GNK=∠GNH GN=GN

，
∴△GNK≌△GNH（SAS），
∴GK=GH，
∴△AGH的周長=AG+GH+AH=AG+GK+AH=AK+AH=AE+EK+AO-OH=2AO=2×4=8．

點評：本題考查了圓的綜合題：熟練掌握圓的內(nèi)心的性質(zhì)、圓周角定理以及等邊三角形的判定與性質(zhì)；正確使用三角形全等解決線段相等和角相等的問題；記住含30度的直角三角形三邊的關(guān)系．