Question

（2013•廊坊一模）如圖1，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)P放在正方形ABCD的對(duì)角線BD上滑動(dòng)，并使其一條直角邊始終經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，另一條直角邊與BC相交于點(diǎn)E．
（1）求證：PA=PE；
（2）若將（1）中的正方形變?yōu)榫匦�，其余條件不變（如圖2），且AD=10，DC=8，求AP：PE；
（3）在（2）的條件下，當(dāng)P滑動(dòng)到BD的延長(zhǎng)線上時(shí)（如圖3），請(qǐng)你直接寫(xiě)出AP：PE的比值．

Answer 1

分析：（1）過(guò)P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，四邊形BMPN是正方形，得出PM=PN，∠MPN=90°，求出∠APM=∠NPE，∠AMP=∠PNE，證△APM≌△EPN，推出AP=PE即可；
（2）證△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，推出

PM

AD

=

PN

CD

，求出

PM

PN

=

AD

CD

=

5

4

，證△APM∽△EPN，推出

AP

PE

=

PM

PN

即可；
（3）過(guò)P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，證△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，得出

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，推出

PM

AD

=

PN

CD

，求出

PM

PN

=

AD

CD

=

5

4

，證△APM∽△EPN，推出

AP

PE

=

PM

PN

即可．

解答：
（1）證明：過(guò)P作PM⊥AB于M，PN⊥BC于N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABD=45°，
∴∠MPB=45°=∠ABD，
∴PM=BM，
同理BP=BN，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°=∠BMP=∠BNP，
∴四邊形BMPN是正方形，
∴PM=PN，∠MPN=90°，
∵∠APE=90°，
∴都減去∠MPE得：∠APM=∠NPE，
∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠AMP=∠PNE，
在△APM和△EPN中

∠AMP=∠ENP PM=PN ∠APM=∠EPN

∴△APM≌△EPN（ASA），
∴AP=PE；

（2）解：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠C=90°，
∵∠PMB=?PNB=90°，
∴PM∥AD，PN∥CD，
∴△BPM∽△BDA，△BNP∽△BCD，
∴

PM

AD

=

BP

BD

，

PN

CD

=

BP

BD

，
∴

PM

AD

=

PN

CD

，
∴

PM

PN

=

AD

CD

=

10

8

=

5

4

，
∵∠AMP=∠ENP=90°，∠MPA=∠EPN，
∴△APM∽△EPN，
∴

AP

PE

=

PM

PN

=

5

4

，
AP：PE=5：4；

（3）解：AP：PE=5：4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，題目比較好，證明過(guò)程類似．