Question

如圖，光明鄉(xiāng)的A、B兩個村莊在河CD的同側，兩村莊的距離為千米，他們到河CD的距離分別是1千米和3千米．為了解決這兩個村莊的飲水問題，鄉(xiāng)政府決定在河CD邊上修建一水廠向A、B兩村輸送自來水．
（1）在圖上作出向A、B兩村鋪設水管所用材料最省時的水廠位置M；（只需作圖，不需要證明）
（2）經預算，修建水廠需20萬元，鋪設水管的所有費用平均為每千米3萬元，其他費用需5萬元，求完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為多少萬元？

Answer 1

解：（1）作圖如右圖所示；

（2）過B作BE⊥AA′于E．
∵A、B兩個村莊在河C、D距離分別是1千米和3千米，
∴AE=2千米，
在直角△AEB中：BE===3（千米），
∵A′E=4千米，
∴A′B==5（千米），
∴完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金資至少為：
20+3×5+5=40（萬元）．
答：完成這項工程鄉(xiāng)政府投入的資金至少為40萬元．
分析：（1）作出A關于CD的對稱點A′，再連接A′B，A′B與CD的交點就是水廠位置M；
（2）過B作BE⊥AA′于E，首先利用勾股定理計算出EB的長，再利用勾股定理計算出AB的長，再根據總費用=修建水廠需20萬元+鋪設水管的所有費用+其他費用需5萬元即可得到答案．
點評：此題主要考查了作圖與應用設計，以及勾股定理的應用，關鍵是正確找出M點的位置．