Question

（2010•甌海區(qū)二模）如圖，矩形ABCD的頂點(diǎn)A、D在拋物線上，B、C在x軸的正半軸上，且矩形始終在拋物線與x軸圍成的區(qū)域里．
（1）設(shè)點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為x，試求矩形的周長(zhǎng)P關(guān)于變量x的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，相應(yīng)矩形的周長(zhǎng)最大？最大周長(zhǎng)是多少？
（3）在上述這些矩形中是否存在這樣一個(gè)矩形，它的周長(zhǎng)為7？若存在，求出該矩形的各頂點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)矩形和拋物線的對(duì)稱性可知：BC=AD=OE-2x，因此求矩形的周長(zhǎng)，就必須先求出E點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)已知拋物線的解析式，易求得E點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而可得到BC的表達(dá)式，利用矩形的周長(zhǎng)公式即可得到關(guān)于P、x的函數(shù)關(guān)系式．
（2）將（1）題所得函數(shù)關(guān)系式化為頂點(diǎn)坐標(biāo)式，進(jìn)而可求得P的最大值及對(duì)應(yīng)的x的值．
（3）將P=7代入（1）題的函數(shù)關(guān)系式中，即可求得對(duì)應(yīng)的x的值，進(jìn)而可根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)和矩形各邊長(zhǎng)的表達(dá)式求出各頂點(diǎn)的坐標(biāo)．
解答：解：（1）令y=0，得，
解得x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0）；（2分）
∴=，（2分）
即P=．

（2）∵（2分）
∴當(dāng)時(shí)，P的最大值為；（2分）
故當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到（，）時(shí)，矩形的周長(zhǎng)最大，且最大值為．

（3）存在；（1分）
當(dāng)P=7時(shí)，得
即4x²-4x-3=0，
解得，；（1分）
∵0＜x＜2，
∴；
當(dāng)時(shí)，，
∴，，．（2分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了矩形、拋物線的性質(zhì)，二次函數(shù)解析式的確定，二次函數(shù)最值的應(yīng)用等知識(shí)，難度適中．