Question

如圖，在邊長為1的正方形ABCD的各邊上，截取AE=BF=CG=DH=x，連接AF、BG、CH、DE構成四邊形PQRS．用x的代數(shù)式表示四邊形PQRS的面積S．則S=

 

．

Answer 1

分析：由正方形得出AD∥BC，∠BAD=∠ADC=∠DCB=∠ABC=90°，AD=AB=BC=CD，根據(jù)全等三角形的判定證出△BAF≌△CBG≌△DCH≌△ADE，得出∠BAF=∠CBG=∠HCD=∠ADE，證△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，得出正方形SPQR，設△DHS的面積是a，設四邊形HSPA的面積是b，根據(jù)相似三角形的性質求出a、b的值，進一步求出a+b的值，由S_{四邊形PQRS}=1×1-4（a+b），代入即可求出答案．

解答：解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AD=CD=BC=AB，∠EAD=∠HDC=∠GCB=∠FBA=90°，
∵AE=BF=CG=DH，
∴△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC（SAS），
∴∠EAP=∠HDE=∠FBQ=∠HCD，
∴∠QPS=∠ADE+∠DAP=∠BAF+∠DAP=∠BAD=90°，
同理∠PSR=90°∠SRQ=90°，
∴四邊形PSRQ是矩形，
∵∠HSD=∠GRC=∠APE=∠BQF=90°，∠GCR=∠HDS=∠EAP=∠QBF，CG=HD=AE=BF，
∴△CGR≌△BFQ≌△AEP≌△DHS，
∴CR=DS=AP=BQ，GR=HS=EP=QF，
∵△EAD≌△FBA≌△GCB≌△HDC，
∴DE=AF=BG=CH，
∴SR=SP，
∴矩形SPQR是正方形，
又∵S_△ADE=x/2，
設△DHS的面積是a，設四邊形HSPA的面積是b，
CH∥AF，
∴△DSH∽△DPA，
∴

a

a+b

=

x2

12

，
∴

a

b

=

x2

1-x2

，
∴a=

x2

1-x2

b，
S_△AED=

1

2

x=2a+b=

1+x2

1-x2

b，
∴b=

x(1-x2)

2(1+x2)

，
a+b=

x

2(1+x2)

，
∴S_{四邊形PQRS}=1×1-4（a+b）=

(1-x)2

1+x2

，
故答案為：

(1-x)2

1+x2

．

點評：本題主要考查對正方形的性質，全等三角形的性質和判定，相似三角形的性質和判定，比例的性質，直角三角形的性質等知識點的理解和掌握，此題是一個拔高的題目，有一定的難度．