Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8cm，BC=6cm．現(xiàn)在有動點P從點B出發(fā)，沿線段BA向終點A運動，動點Q從點A出發(fā)，沿折線AC-CB向終點運動．如果點P的速度是1cm/秒，點Q的速度是2cm/秒．它們同時出發(fā)，當有一點到達終點時，另一點也停止運動．設運動的時間為t秒．
（1）如圖1，Q在AC上，當t為多少秒時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？
（2）如圖2，Q在CB上，是否存著某時刻，使得以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）如圖1（1），當∠AQP=90°時，△AQP∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出t值，如圖1（2）當∠APQ=90°時，就有△APQ∽△ACB，由相似三角形的性質(zhì)就可以求出其t值；
（2）如圖2，當△BPQ∽△BAC時根據(jù)相似三角形的性質(zhì)就有

BP

AB

=

BQ

BC

，再根據(jù)已知條件就可以求出t的值．

解答：解：（1）如圖1（1），當∠AQP=90°時，△AQP∽△ACB，
∴

AQ

AC

=

AP

AB

．
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AB=

36+64

=10．
BP=t，AQ=2t，
∴PA=10-t，
∴

2t

8

=

10-t

10

，
∴t=

20

7

，
如圖1（2），當∠APQ=90°時，△APQ∽△ACB，
∴

AQ

AB

=

AP

AC

，
∴

2t

10

=

10-t

8

，
t=

50

13

．
綜上所述，t=

20

7

或

50

13

時，以點A、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似；
（2）如圖2，當△BPQ∽△BAC時，

BP

AB

=

BQ

BC

．
∵BQ=14-2t，BP=t，
∴

t

10

=

14-2t

6

，
t=

70

13

，
∴t=

70

13

時，Q在CB上，以點B、P、Q為頂點的三角形與△ABC相似．

點評：本題是一道關于懂點問題的相似三角形的綜合試題，考查了勾股定理的運用，相似三角形的判定及性質(zhì)的運用，解答本題時要求出時間t而求證三角形相似是關鍵．