Question

a、b是實數(shù)，如果已知

4

a4

-

2

a2

-3=0，且b⁴+b²-3=0，那么

a4b4+4

a4

的值是（　�。�

• A、6
• B、7
• C、8
• D、9

Answer 1

分析：解法一：假設m=

2

a2

，n=b²將

4

a4

-

2

a2

-3=0轉(zhuǎn)化為一元二次方程m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0轉(zhuǎn)化為一元二次方程n²+n-3=0
利用公式法解這兩個一元二次方程，得到m、n的值（不合題意，舍去）．
將

a4b4+4

a4

轉(zhuǎn)化為m²+n²，再進一步轉(zhuǎn)化（m+n）²-2mn，用完全平方公式與平方差公式即可求解．
解法二：假設m=-

2

a2

，n=b²，則根據(jù)已知與一元二次方程的根與系數(shù)的關系，那么m、n可以看作是方程x²+x-3=0的兩個根
則m+n=-1，mn=-3
該式

a4b4+4

a4

可變換為m²+n²=（m+n）²-2mn，至此問題得以解決．

解答：解：解法一：令m=

2

a2

，n=b²
則

4

a4

-

2

a2

-3=0，轉(zhuǎn)化為m²-m-3=0，b⁴+b²-3=0轉(zhuǎn)化為n²+n-3=0，
解方程m²-m-3=0得m=

1+ 13

2

或m=

1- 13

2

，
由于m=

2

a2

＞0，m=

1+ 13

2

，
同理解方程n²+n-3=0得n=

-1+ 13

2

，n=

-1- 13

2

（不合題意，舍去），
所以m=

1+ 13

2

，n=

-1+ 13

2

，
因而

a4b4+4

a4

=b4+

4

a4

=m²+n²=（m+n）²-2mn=(

13)

2-2×3=7；
故選B．

解法二：設m=-

2

a2

，n=b²，則根據(jù)題意m、n可以看作是方程x²+x-3=0的兩個根，
∴m+n=-1，mn=-3，

a4b4+4

a4

=（-

2

a2

）²+（b²）²，
=m²+n²，
=（m+n）²-2mn，
=（-1）²-2×（-3），
=1+6，
=7．
故選B．

點評：這道題目確實很好，也很難，可謂是一道綜合題，涉及到一元二次方程根與系數(shù)的關系求解、換元法、平方差公式、完全平方公式，即使做為大題出現(xiàn)也不為過．同學們一定要重視本題的解題思路．對于解法二具有一定層次的同學可以參考．