Question

【題目】如圖1，已知點A（a，0），B（0，b），且a、b滿足, ABCD的邊AD與y軸交于點E，且E為AD中點，雙曲線經過C、D兩點．

（1）求k的值；

（2）點P在雙曲線上，點Q在y軸上，若以點A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，試求滿足要求的所有點P、Q的坐標；

Answer 1

【答案】(1)k=4; (2)P(1,4),Q(0,6)或P(-1,-4),Q(0,-6)或P(-1,-4),Q(0,2).

【解析】

（1）先根據非負數的性質求出a、b的值，故可得出A、B兩點的坐標，設D（1，t），由DC∥AB，可知C（2，t-2），再根據反比例函數的性質求出t的值即可；

（2）由（1）知k=4可知反比例函數的解析式為y=，再由點P在雙曲線y=上，點Q在y軸上，設Q（0，y），P（x，），再分以AB為邊和以AB為對角線兩種情況求出x的值，故可得出P、Q的坐標.

（1）∵，

∴，

解得：，

∴A（-1，0），B（0，-2），

∵E為AD中點，

∴xD=1，

設D（1，t），

又∵DC∥AB，

∴C（2，t-2），

∴t=2t-4，

∴t=4，

∴k=4；

（2）∵由（1）知k=4，

∴反比例函數的解析式為y=，

∵點P在雙曲線y=上，點Q在y軸上，

∴設Q（0，y），P（x，），

①當AB為邊時：

如圖1，若ABPQ為平行四邊形，

則=0，

解得x=1，

此時P1（1，4），Q1（0，6）；

如圖2，若ABQP為平行四邊形，

則，

解得x=-1，

此時P2（-1，-4），Q2（0，-6）；

②如圖3，當AB為對角線時，

AP=BQ，且AP∥BQ；

∴，

解得x=-1，

∴P3（-1，-4），Q3（0，2）；

故P1（1，4），Q1（0，6）；P2（-1，-4），Q2（0，-6）；P3（-1，-4），Q3（0，2）；