Question

如圖，⊙O為△BCD的外接圓，過C點作⊙O的切線交BD的延長線于A，∠ACB=75°，∠ABC=45°，則

CD

DB

的值為（　�。�

• A．

  3

  2

• B．2
• C．

  2

• D．

  2

  2

Answer 1

分析：首先設(shè)圓的半徑為r，連接OB，OC，OD，由弦切角定理，可得∠DCA=∠CBD=45°，繼而求得∠BCD=30°，則可得△BOD是等邊三角形，△COD是等腰直角三角形，繼而求得答案．

解答：解：設(shè)圓的半徑為r，連接OB，OC，OD，
∵AC為⊙O的切線，
∴∠DCA=∠CBD=45°，
∴∠BCD=∠BCA-∠DCA=75-45=30°，
∴∠BOD=2∠BCD=60°，
∴△BOD是等邊三角形，BD=r，
∵∠CBD=45°，
∴∠COD=90°，
∴CD=

2

OC=

2

r，
∴

CD

DB

=

2

．
故選C．

點評：此題考查了弦切角定理、切線的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．