Question

如圖，海事救援指揮中心A接到海上SOS呼救：一艘漁船B在海上碰到暗礁，船體漏水下沉，5名船員需要援救．經(jīng)測量漁船B到海岸最近的點(diǎn)C的距離BC=20km，∠BAC=22°37′，指揮中心立即制定三種救援方案（如圖1）：
①派一艘沖鋒舟直接從A開往B；②先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)C，然后再派沖鋒舟前往B；③先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到距指揮中心33km的點(diǎn)D，然后再派沖鋒舟前往B．
已知沖鋒舟在海上航行的速度為60km/h，汽車在海岸線上行駛的速度為90km/h．
（sin22°37′=

5

13

，cos22°37′=

12

13

，tan22°37′=

5

12

）
（1）通過計(jì)算比較，這三種方案中，哪種方案較好（汽車裝卸沖鋒舟的時(shí)間忽略不計(jì)）？
（2）事后，細(xì)心的小明發(fā)現(xiàn)，上面的三種方案都不是最佳方案，最佳方案應(yīng)是：先用汽車將沖鋒舟沿海岸線送到點(diǎn)P處，點(diǎn)P滿足cos∠BPC=

2

3

（沖鋒舟與汽車速度的比），然后再派沖鋒舟前往B（如圖2）．請你說明理由！
如果你反復(fù)探索沒有解決問題，可以選�、佟ⅱ�、③兩種研究方法：
方案①：在線段上AP任取一點(diǎn)M；然后用轉(zhuǎn)化的思想，從幾何的角度說明汽車行AM加上沖鋒舟行BM的時(shí)間比車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間要長．
方案②：在線段上AP任取一點(diǎn)M；設(shè)AM=x；然后用含有x的代數(shù)式表示出所用時(shí)間t；
方案③：利用現(xiàn)有數(shù)據(jù)，根據(jù)cos∠BPC=

2

3

計(jì)算出汽車行AP加上沖鋒舟行BP的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）分別求出三種方案所需時(shí)間，比較后找到最省時(shí)的方案即可；
（2）分別有M點(diǎn)向BP作垂線，構(gòu)造直角三角形利用銳角三角函數(shù)的定義求出距離后計(jì)算出時(shí)間即可．

解答：解：（1）∵BC=20km∠BAC=22°37′，
∴AB=

BC

sin∠BAC

=52km，AC=48km，
方案①

52

60

=

13

15

小時(shí)=52分鐘，
②

48

90

+

20

60

=

13

15

小時(shí)=52分鐘，
③

33

90

+

(48-33)2+202

60

=

11

30

+

25

60

=

47

60

小時(shí)=47分鐘，
∴方案③較好；

（2）解：①點(diǎn)M為AP上任意一點(diǎn)，汽車開到M點(diǎn)放沖鋒舟下水，
用時(shí)tM=

AM

90

+

BM

60

，汽車開到P放沖鋒舟下水，用時(shí)tp=

AP

90

+

BP

60

，
延長BP過M作MH⊥BP于H，
∵cos∠BPC=

2

3

，
∴PH=

2

3

Mp，
∴汽車行MP的時(shí)間=沖鋒舟行PH的時(shí)間，
∴tp=

AP

90

+

BP

60

=

AM

90

+

BH

60

，

∵BM＞BH∴t_M＞tp；
②當(dāng)點(diǎn)M在PC上任意一點(diǎn)時(shí)，過M作MH⊥BP于H，同理可證：t_M＞tp
方案②tM=

202+(48-x)2

60

+

x

90

，（當(dāng)x=48-8

5

時(shí)，t_M最小，此時(shí)cos∠BPC=

2

3

），
方案③tp=

19 5 +48

90

小時(shí)．

點(diǎn)評：本題考查了解直角三角形的相關(guān)知識，特別是與實(shí)際問題相結(jié)合的題目就要求同學(xué)們從中整理出直角三角形的模型，利用解直角三角形的知識解決．