Question

將編號(hào)為1，2，…，18的18名乒乓球運(yùn)動(dòng)員分配在9張球臺(tái)上進(jìn)行單打比賽，規(guī)定每張球臺(tái)上兩選手編號(hào)之和均為大于4的平方數(shù)．請(qǐng)問這一規(guī)定能否實(shí)現(xiàn)？若規(guī)定不能實(shí)現(xiàn)，請(qǐng)給出證明；若規(guī)定能夠?qū)崿F(xiàn)，請(qǐng)說明實(shí)現(xiàn)方案是否唯一．

Answer 1

【答案】分析：首先由編號(hào)最大的兩數(shù)之和為35，求得：同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)之和只能取三個(gè)平方數(shù)是25，16，9；然后設(shè)同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)和為25、16、9的分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)，根據(jù)題意列方程，又由x、y、z均為非負(fù)整數(shù)，即可求得符合條件的x，y，z的值，則可求得答案．
解答：解：∵編號(hào)最大的兩數(shù)之和為：18+17=35＜36，
∴同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)之和只能取三個(gè)平方數(shù)：25，16，9．
現(xiàn)設(shè)同一張球臺(tái)上兩選手編號(hào)和為25、16、9的分別有x個(gè)、y個(gè)、z個(gè)（x、y、z均為非負(fù)整數(shù)），
依題意有25x+16y+9z=1+2+…+18，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
即16x+7y+9（x+y+z）=171，x+y+z=9，x≥0，y≥0，z≥0，
得16x+7y=90，x≥0，y≥0，z≥0．
又由0≤x≤＜6知，x只能取非負(fù)整數(shù)0，1，2，3，4，5．
逐一代入檢驗(yàn)，可得方程唯一的非負(fù)整數(shù)解x=3，y=6，z=0．
下面討論9張球臺(tái)上的選手對(duì)陣情況．
（1）由x=3，知平方數(shù)為25只能有3個(gè)，而編號(hào)不小于16的3個(gè)選手18，17，16對(duì)應(yīng)的平方數(shù)又只能為25，
故“兩選手編號(hào)和為25”的只能是：18與7對(duì)陣，17與8對(duì)陣，16與9對(duì)陣．
（2）由y=6，知去掉18，17，16，9，8，7后剩下的12個(gè)選手對(duì)應(yīng)的平方數(shù)能且只能為16，有：1與15對(duì)陣，2與14對(duì)陣，3與13對(duì)陣，4與12對(duì)陣，5與11對(duì)陣，6與10對(duì)陣．
故規(guī)定能夠?qū)崿F(xiàn)，且實(shí)現(xiàn)方案是唯一的．9張球臺(tái)上選手對(duì)陣情況為：
（18，7），（17，8），（16，9），（15，1），（14，2），（13，3），（12，4），（11，5），（10，6）．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了整數(shù)問題的綜合應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是能根據(jù)題意列的方程，然后利用分類討論思想求解．