已知：如圖，拋物線y=ax2+ax+c與y軸交于點(diǎn)C（0，2），與x軸交于點(diǎn)A、B，點(diǎn)A的精英家教網(wǎng)坐標(biāo)為（-2，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）M是線段OB上一動(dòng)點(diǎn)，N是線段OC上一動(dòng)點(diǎn)，且ON=2OM，分別連接MC、MN．當(dāng)△MNC的面積最大時(shí)，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)．
（3）若平行于x軸的動(dòng)直線與該拋物線交于點(diǎn)P，與直線AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0）．問：是否存在直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
分析：（1）將A、C的坐標(biāo)代入拋物線中進(jìn)行求解即可．
（2）先根據(jù)拋物線的解析式求出B點(diǎn)的坐標(biāo)，即可求出OB的長(zhǎng)，然后設(shè)M的坐標(biāo)為（m，0），可用m表示OM和NC的長(zhǎng)，然后根據(jù)三角形的面積公式即可得出關(guān)于△CMN的面積與m之間的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)和m的取值范圍即可求出△CNM的最大值及對(duì)應(yīng)的M、N的坐標(biāo)．
（3）本題要分三種情況進(jìn)行討論：
①OF=DF，此時(shí)F必在OD的垂直平分線上，即F的橫坐標(biāo)為-
1
2
，可根據(jù)直線AC的解析式求出F點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將F的縱坐標(biāo)代入拋物線中即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．
②OD=DF，DF=1，易知：OA=OC=2，因此AD=OD=DF=1，三角形AFO為等腰直角三角形，因此可得出F（-1，1），后同①．
③當(dāng)OD=DF=1時(shí)，②中已經(jīng)得出△OAC為等腰直角三角形，因此O到AC的距離為
2
＞1，因此這種情況不成立．
解答：精英家教網(wǎng)解：（1）由題意，得
0=4a-2a+c
2=c

解得
a=-1
c=2

∴所求拋物線的解析式為：y=-x2-x+2

（2）設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（m，0），則OM=m，ON=2m，CN=2-2m．
S△MNC=
1
2
NC•OM=
1
2
（2-2m）•m=-m2+m=-（m-
1
2
）2+
1
4

由-x2-x+2=0
得x1=-2，x2=1．
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0）．
則0＜m＜1，
∴當(dāng)m=
1
2
時(shí)，S△MNC有最大值
1
4

此時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（
1
2
，0），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（0，1）．

（3）在△ODF中，
①若DO=DF，∵A（-2，0），D（-1，0），
∴AD=DO=DF=1．
又在Rt△AOC中，OA=OC=2，
∴∠OAC=45度．
∴∠DFA=∠OAC=45度．
∴∠ADF=90度．此時(shí)，點(diǎn)F的坐標(biāo)為（-1，1）．
由-x2-x+2=1，x；1=
-1+
5
2
，x2=
-1-
5
2
此時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（
-1+
5
2
，1）或（
-1-
5
2
，1）
②若FO=FD，過點(diǎn)F作FE⊥x軸于點(diǎn)E．
由等腰三角形△AEF中，F(xiàn)E=AE=
3
2
．
∴F（-
1
2
，
3
2
）
由-x2-x+2=
3
2
，
得x1=
-1+
3
2
，x2=
-1-
3
2
此時(shí)，
點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（
-1+
3
2
，
3
2
）或（
-1-
3
2
，
3
2
）
③若OF=OD，∵OA=OC=2，且∠AOC=90°，
∴AC=2
2
．
∴點(diǎn)O到AC的距離為
2
，而OF=OD=1＜
2
，
此時(shí)，不存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形．
綜上所述，存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形，
所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為：（
-1+
5
2
，1）或（
-1-
5
2
，1）或（
-1+
3
2
，
3
2
）或（
-1-
3
2
，
3
2
）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象交點(diǎn)、等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)分別為-1和3，精英家教網(wǎng)與y軸交點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，△ABC的外接圓的圓心為點(diǎn)M．
（1）求這條拋物線的解析式；
（2）求圖象經(jīng)過M、A兩點(diǎn)的一次函數(shù)解析式；
（3）在（1）中的拋物線上是否存在點(diǎn)P，使過P、M兩點(diǎn)的直線與△ABC的兩邊AB、BC的交點(diǎn)E、F和點(diǎn)B所組成的△BEF和△ABC相似？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知：如圖，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，與y軸相交于點(diǎn)A，直線y=ax+3與y軸也交于點(diǎn)A，矩形ABCO的頂點(diǎn)B在精英家教網(wǎng)此拋物線上，矩形面積為12，
（1）求該拋物線的對(duì)稱軸；
（2）⊙P是經(jīng)過A、B兩點(diǎn)的一個(gè)動(dòng)圓，當(dāng)⊙P與y軸相交，且在y軸上兩交點(diǎn)的距離為4時(shí)，求圓心P的坐標(biāo)；
（3）若線段DO與AB交于點(diǎn)E，以點(diǎn)D、A、E為頂點(diǎn)的三角形是否有可能與以點(diǎn)D、O、A為頂點(diǎn)的三角形相似，如果有可能，請(qǐng)求出點(diǎn)D坐標(biāo)及拋物線解析式；如果不可能，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•寧化縣質(zhì)檢）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A（1-
3
，0）和點(diǎn)B，將拋物線沿x軸向上翻折，頂點(diǎn)P落在點(diǎn)P′（1，3）處．
（1）求原拋物線的解析式；
（2）在原拋物線上，是否存在一點(diǎn)，與它關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)也在該拋物線上？若存在，求滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
（3）學(xué)校舉行班徽設(shè)計(jì)比賽，九年級(jí)（5）班的小明在解答此題時(shí)頓生靈感：過點(diǎn)P′作x軸的平行線交拋物線于C、D兩點(diǎn)，將翻折后得到的新圖象在直線CD以上的部分去掉，設(shè)計(jì)成一個(gè)“W”型的班徽，“5”的拼音開頭字母為W，“W”圖案似大鵬展翅，寓意深遠(yuǎn)；而且小明通過計(jì)算驚奇的發(fā)現(xiàn)這個(gè)“W”圖案的高與寬（CD）的比非常接近黃金分割比
5
-1
2
（約等于0.618）．請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)“W”圖案的高與寬的比到底是多少？（參考數(shù)據(jù)：
5
≈2.236，
6
≈2.449，結(jié)果精確到0.001）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知，如圖，拋物線y=ax2-2ax+c（a≠0）與y軸交于點(diǎn)C（0，4），與x軸交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，0）．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）若點(diǎn)M在拋物線上，且△ABC與△ABM的面積相等，直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)Q是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)Q作QE∥AC，交BC于點(diǎn)E，連接CQ．當(dāng)△CQE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；
（4）若平行于x軸的動(dòng)直線l與線段AC交于點(diǎn)F，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）．問：是否存在這樣的直線l，使得△ODF是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出直線l的解析式；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知，如圖，拋物線y=x2+px+q與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，且OA≠OB，OA=OC，設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)P，直線PC與x軸的交點(diǎn)D恰好與點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱．
（1）求p、q的值．
（2）在題中的拋物線上是否存在這樣的點(diǎn)Q，使得四邊形PAQD恰好為平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）連接PA、AC．問：在直線PC上，是否存在這樣點(diǎn)E（不與點(diǎn)C重合），使得以P、A、E為頂點(diǎn)的三角形與△PAC相似？若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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