Question

【題目】如圖，在中，，以為直徑的分別交、于點、，延長到點，連接，使．

求證：是的切線；

若，，求的長．

Answer 1

【答案】證明見解析；長為．

【解析】

（1）連接BD，由圓周角定理得出∠ADB=90°，由等腰三角形的性質得出∠ABC=2∠ABD，得出∠ABD=∠CAF，證出∠CAF+∠CAB=90°，BA⊥FA，即可得出結論；
（2）連接AE，由圓周角定理得出∠AEB=90°，設CE長為x，則EB長為3x，AB=BC=4x．由勾股定理可得AE=x，在Rt△AEC中，由勾股定理得出方程，解方程即可．

連接，如圖所示：

∵是的直徑

∴，

∵，

∴平分，即

∵，

∴，

∵，

∴，即，

∴是的切線；

連接，如圖所示：

∵是的直徑

∴，即為直角三角形，

∵，

設長為，則長為，長為．

則長為，

在中由勾股定理可得，

在中，，，，

由勾股定理得：，

解得：，

∵

∴，即長為．