Question

如圖，在△ABC中，AB=2，AC=BC= 5 ．

（1）以AB所在的直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系如圖，請(qǐng)你分別寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）求過(guò)A、B、C三點(diǎn)且以C為頂點(diǎn)的拋物線的解析式；

（3）若D為拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)D點(diǎn)坐標(biāo)為何值時(shí)，S_△ABD=S_△ABC；

（4）如果將（2）中的拋物線向右平移，且與x軸交于點(diǎn)A′B′，與y軸交于點(diǎn)C′，當(dāng)平移多少個(gè)單位時(shí)，點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上（解答過(guò)程如果有需要時(shí)，請(qǐng)參看閱讀材料）．

附：閱讀材料

一元二次方程常用的解法有配方法、公式法和因式分解法，對(duì)于一些特殊方程可以通過(guò)換元法轉(zhuǎn)化為一元二次方程求解．如解方程：y⁴-4y²+3=0．

解：令y²=x（x≥0），則原方程變?yōu)閤²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3．

當(dāng)x₁=1時(shí)，即y²=1，∴y₁=1，y₂=-1．

當(dāng)x²=3，即y²=3，∴y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

所以，原方程的解是y₁=1，y₂=-1，y₃= 3 ，y₄=- 3 ．

再如 ，可設(shè) ，用同樣的方法也可求解．

Answer 1

【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題．

【分析】（1）根據(jù)y軸是AB的垂直平分線，則可以求得OA，OB的長(zhǎng)度，在直角△OAC中，利用勾股定理求得OC的長(zhǎng)度，則A、B、C的坐標(biāo)即可求解；

（2）利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；

（3）首先求得△ABC的面積，根據(jù)S_△ABD= S_△ABC，以及三角形的面積公式，即可求得D的縱坐標(biāo)，把D的縱坐標(biāo)代入二次函數(shù)的解析式，即可求得橫坐標(biāo)．

（4）設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，可以寫(xiě)出平移以后的函數(shù)解析式，當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA•OB，據(jù)此即可得到一個(gè)關(guān)于c的方程求得c的值．

【解答】解：（1）∵AB的垂直平分線為y軸，

∴OA=OB=AB=×2=1，

∴A的坐標(biāo)是（-1，0），B的坐標(biāo)是（1，0）．

在直角△OAC中，，

則C的坐標(biāo)是：（0，2）；

（2）設(shè)拋物線的解析式是：y=ax²+b，

根據(jù)題意得： ，解得：  ，

則拋物線的解析式是：；

（3）∵S_△ABC=AB•OC=×2×2=2，

∴S_△ABD=S_△ABC=1．

設(shè)D的縱坐標(biāo)是m，則AB•|m|=1，

則m=±1．

當(dāng)m=1時(shí)，-2x²+2=1，解得：x=±，

當(dāng)m=-1時(shí)，，-2x²+2=-1，解得：x=± ，

則D的坐標(biāo)是：（，1）或（- ，1）或（，-1），或（- ，-1）．

（4）設(shè)拋物線向右平移c個(gè)單位長(zhǎng)度，則0＜c≤1，OA′=1-c，OB′=1+c．

平移以后的拋物線的解析式是：y=-2（x-c）²+b．

令x=0，解得y=-2c²+2．即OC′= -2c²+2．

當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA′•OB′，

則（-2c²+2）²=（1-c）（1+c），

即（4c²-3）（c²-1）=0，

解得：c= ，（舍去），1，（舍去）．

故平移 或1個(gè)單位長(zhǎng)度．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了勾股定理，待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，以及圖象的平移，正確理解：當(dāng)點(diǎn)C′同時(shí)在以A′B′為直徑的圓上時(shí)有：OC′²=OA•OB，是解題的關(guān)鍵．