Question

如圖1，已知l₁∥l₂，點(diǎn)A、B在直線l₁上，AB=4，過(guò)點(diǎn)A作AC⊥l₂，垂足為C，AC=3．過(guò)點(diǎn)A的直線與直線l₂交于點(diǎn)P，以點(diǎn)C為圓心，CP為半徑作圓C（如圖2）．
（1）當(dāng)CP=1時(shí)，求cos∠CAP的值；
（2）如果圓C與以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓B相切，求CP的長(zhǎng)；
（3）探究：當(dāng)直線AP處于什么位置時(shí)（只要求出CP的長(zhǎng)），將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切？并證明你的結(jié)論．

Answer 1

解：（1）∵AC=3，CP=1，AC⊥CP，
∴AP=，
∴cos∠CAP===；


（2）∵圓C與以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓B相內(nèi)切，
AB=4，AC=3，
∴B、C為圓心
∴BC=5
CP=5+4=9；
圓C與以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑的圓B相外切，
AB=4，AC=3，
∴B、C為圓心
∴BC=5
CP=5-4=1，


（3）∵將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切，
∴CC'⊥AP； 圓C'與直線相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3．
∴當(dāng)線段CP的長(zhǎng)為3時(shí)，將圓C沿著直線AP翻折后得到的圓C′恰好與直線l₂相切．
分析：（1）根據(jù)銳角三角函數(shù)的性質(zhì)，求出AP=，即可得出cos∠CAP；
（2）利用相切兩圓的性質(zhì)，得出即可；
（3）利用圓C'與直線相切，C'P⊥CP，且C'P=CP； 即∠CPA=45°； 所以CP=AC=3，即可得出答案．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義等知識(shí)，根據(jù)已知靈活應(yīng)用切線的性質(zhì)定理是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．