Question

如圖所示，已知在直角梯形OABC中，AB∥OC，BC⊥軸于點(diǎn)C，A，B．動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，沿軸正方向以每秒1個單位長度的速度移動．過P點(diǎn)作PQ垂直于直線OA，垂足為Q．設(shè)點(diǎn)移動的時間為秒，△OPQ與直角梯形OABC重疊部分的面積為S．

1.求經(jīng)過O、A、B三點(diǎn)的拋物線解析式；

2.求S與t的函數(shù)關(guān)系式；

3.將△OPQ繞著點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90°，是否存在t，使得△OPQ的頂點(diǎn)為O或Q在拋物線上？若存在，直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

 

1. 法一：由圖象可知：拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

設(shè)拋物線解析式為．

把A（1，-1），B（3，-1）代入上式得：

 解得：

∴所求拋物線解析式為

法二：∵A（1，-1），B（3，-1），

∴拋物線的對稱軸是直線．

設(shè)拋物線解析式為（）

把O，A（1，-1）代入得

   解得

∴所求拋物線解析式為

2.分四種情況：

①當(dāng)，重疊部分的面積是，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，

∵A（1，-1），在中，，，

在中，，，                              

∴，       ∴

．

②當(dāng)，設(shè)交于點(diǎn)，作軸于點(diǎn)，

，則四邊形是等腰梯形，

重疊部分的面積是．

∴，

∴．

③當(dāng)，設(shè)與交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，

重疊部分的面積是．

因?yàn)?img width=45 height=16 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/imagenew/czsx/10/42990.png">和都是等腰直角三角形，

所以重疊部分的面積是．

∵B（3，-1），，

∴，

∴，

∴

       

4當(dāng)時，重疊部分的面積就是梯形OABC的面積= 

3.存在     ，

解析:本題是二次函數(shù)的一道綜合題，（1）（2）求點(diǎn)的坐標(biāo)和函數(shù)解析式，是常見題型，（3）需要綜合考慮，有一定難度。