Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn).

(1)求這個(gè)二次函數(shù)以及直線BC的解析式；

(2)直接寫出點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)x為何值時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.

Answer 1

【答案】(1) , ;(2) （-1,0）;(3) 0＜x＜3時(shí)

【解析】試題分析：

(1) 由于點(diǎn)B與點(diǎn)C既在一次函數(shù)的圖象上又在二次函數(shù)的圖象上. 考慮運(yùn)用待定系數(shù)法確定這兩個(gè)函數(shù)的解析式. 先將該一次函數(shù)的解析式設(shè)為一次函數(shù)的一般形式，再將點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入所設(shè)的解析式中得到關(guān)于待定系數(shù)的方程組，解這個(gè)方程組可以確定各待定系數(shù)的值，進(jìn)而確定一次函數(shù)的解析式. 由于二次函數(shù)解析式的形式已經(jīng)給出，所以將點(diǎn)B與點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式并求得系數(shù)b和c的值，進(jìn)而得到二次函數(shù)的解析式.

(2) 由于該二次函數(shù)的圖象與x軸交于A與B兩點(diǎn)，所以將y=0代入二次函數(shù)的解析式并求得相應(yīng)的x的值. 根據(jù)點(diǎn)B的坐標(biāo)，判斷對(duì)應(yīng)于點(diǎn)A坐標(biāo)的x值，進(jìn)而求得點(diǎn)A的坐標(biāo).

(3) 若一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值，則該一次函數(shù)的相應(yīng)圖象應(yīng)該在該二次函數(shù)相應(yīng)圖象的上方. 根據(jù)上述結(jié)論，觀察本題給出的函數(shù)圖象可知，一次函數(shù)圖象在點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的部分位于二次函數(shù)圖象相應(yīng)部分的上方. 根據(jù)點(diǎn)C與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)即可得到符合題意的x的取值范圍.

試題解析：

(1) 設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b1.

由題意知，點(diǎn)B(3, 0)和點(diǎn)C(0, -3)在直線BC上，故將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入直線BC的解析式，得

，

解之，得

.

∴直線BC的解析式為y=x-3.

由題意知，點(diǎn)B(3, 0)和點(diǎn)C(0, -3)在二次函數(shù)的圖象上，故將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)分別代入二次函數(shù)的解析式，得

，

解之，得

.

∴該二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3.

綜上所述，該二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3，直線BC的解析式為y=x-3.

(2) 點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1, 0). 具體求解過程如下.

根據(jù)題意，將y=0代入該二次函數(shù)的解析式，得

x2-2x-3=0，

解這個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，得

x1=3，x2=-1.

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0)，

∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1, 0).

(3) 由函數(shù)的圖象可知，在位于點(diǎn)C與點(diǎn)B之間的部分圖象中，一次函數(shù)的圖象在二次函數(shù)圖象的上方.

∵點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3, 0)和點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0, -3)，

∴當(dāng)0<x<3時(shí)，一次函數(shù)的值大于二次函數(shù)的值.