Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，以AB為直徑的⊙O交對(duì)角線AC于點(diǎn)F，E是⊙O上一點(diǎn)．
（1）求∠AEF的度數(shù)；
（2）求圖中陰影部分的面積；
（3）若AE=5，求∠AFE的正弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用圓周角定理直接得出答案；
（2）利用S_陰影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF進(jìn)而得出答案；
（3）利用三角函數(shù)關(guān)系得出Sin∠AFE=Sin∠ABE進(jìn)而求出答案．
解答：解：（1）連接OF．∵四邊形ABCD是正方形，AC是對(duì)角線，
∴∠CAB=45°，
∵OF=OA，∠AFO=∠CAB=45°，
∴∠AOF=90°，
∴∠AEF=∠AOF=45°；

（2）∵AB=BC=6，
∴OF=OA=r=3，∠FOB=∠AOF=90°，
∴S_陰影=S_△ABC-S_△AOF-S_扇形OBF=AB×BC-AO×OF-，
=×6²-×3²-，
=；

（3）連接BE，可得∠AFE=∠ABE
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠AEB=90°，
∴sin∠AFE=sin∠ABE=．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓周角定理以及扇形的面積公式和正方形的面積等知識(shí)，熟練地應(yīng)用圓周角定理以及銳角三角函數(shù)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．