(2002•達州)如圖,O是∠ABC的邊BA上一點,以O(shè)為圓心的圓與角的另一邊BC相切于點D,交BO于點E,F(xiàn)是OA上一點,過F作FG⊥AB,交BC于點G,BD=2,sin∠ABC=,設(shè)OF=x,四邊形EDGF的面積為y.
(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)在直角平面坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)的大致圖象;
(3)這個函數(shù)的圖象與經(jīng)過點(1,)的正比例函數(shù)的圖象有無交點?若有交點,求出交點坐標;若無交點,試說明理由.

【答案】分析:(1)連接OD,則由切線性質(zhì)可得OD⊥BC,作EH⊥BD垂足為H,由sin∠ABC=,可知∠ABC=30°,圖形中就有三個30°的直角三角形,分別是△BEH、△BOD和△BGF,先解△BOD,由BD=2,可求OD、OB、BE,再解△BEH,可求EH及△BED的面積,由于OF=x,則BF可表示出來,解Rt△BGF,可表示FG及△BGF的面積,用S四邊形EDGF=S△BGF-S△BDE即可;
(2)畫圖象時,要注意拋物線對稱軸,頂點坐標,與坐標軸的交點及自變量的取值范圍;
(3)由點(1,)可得正比例函數(shù)關(guān)系式,與二次函數(shù)解析式聯(lián)立,解方程組即可.
解答:解:(1)連接OD,則OD⊥BC,
∴△BOD是直角三角形,由sin∠ABC==,設(shè)OD=m,則OB=2m,
在Rt△OBD中,BO2=BD2+OD2;即(2m)2=(22+m2,
∴OD=m=2,OB=2m=4,
∴BE=OB-OE=OB-OD=4-2=2,BF=OB+OF=4+x.
作EH⊥BD垂足為H,則∠BHE=∠BDO=90°,
∴EH∥OD,
∵BE=OE,BH=HD,
∴EH=OD.
又∵S△OBD=BD•OD=×2×2=2,
∴S△BED=S△OBD=,
∵GF⊥AB,∴∠BDO=∠BFG=90°,
又∵∠DBO=∠FBG,
∴△OBD∽△GBF,


∴S△GBF=(4+x)2-
即y=(4+x)2-

(2)所求函數(shù)的大致圖象如圖所示.

(3)設(shè)正比例函數(shù)為y=kx
∵這個正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(1,).
=k×1,
∴k=
∴這個正比例函數(shù)是y=x.
解方程組
,

∴這個正比例函數(shù)與(1)中函數(shù)的圖象有兩個交點,
其坐標分別為(-2,)、(-5,-).
點評:本題考查了解直角三角形,三角形面積的表示方法,求二次函數(shù)解析式及其圖象,二次函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的交點等綜合運用問題,在表示不規(guī)則四邊形面積時,要學(xué)會作差法.
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(2)在直角平面坐標系內(nèi)畫出這個函數(shù)的大致圖象;
(3)這個函數(shù)的圖象與經(jīng)過點(1,)的正比例函數(shù)的圖象有無交點?若有交點,求出交點坐標;若無交點,試說明理由.

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