Question

如圖，在直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)P₀的坐標(biāo)為（1，0），進(jìn)行如下操作：將線段OP₀按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，再將其長度伸長為OP₀的2倍，得到線段OP₁；又將線段OP₁按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，長度伸長為OP₁的2倍，得到線段OP₂，如此重復(fù)操作下去，得到線段OP₃，OP₄，…，則：
（1）點(diǎn)P₅的坐標(biāo)為______；
（2）落在x軸正半軸上的點(diǎn)P_n坐標(biāo)是______，其中n滿足的條件是______．

Answer 1

解：（1）由圖可得P₅在第三象限的角平分線上，
∵OP₁=2¹，OP₂=2²，
∴OP₅=2⁵=32，
作P₅A⊥x軸，P₅B⊥y軸，
∴AO=OB=16，
∴點(diǎn)P₅的坐標(biāo)為（-16，-16）；
故答案為（-16，-16）；

（2）由（1）可得落在x軸正半軸上的點(diǎn)P_n坐標(biāo)是（2ⁿ，0），
∵每8個點(diǎn)循環(huán)一圈，
∴n滿足的條件是n=8k（k=0，1，2，…），
故答案為（2ⁿ，0），n=8k（k=0，1，2，…）．


分析：（1）易得P₅在第三象限的角平分線上，先得到OP₅的長度，進(jìn)而判斷P₅的坐標(biāo)即可；
（2）易得x軸正半軸上的點(diǎn)橫坐標(biāo)與底數(shù)為2的冪相關(guān)，根據(jù)每8個點(diǎn)循環(huán)一圈可得n滿足的條件．
點(diǎn)評：考查坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)問題；得到相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)規(guī)律及OP_n的長度的規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．