Question

已知從1開(kāi)始連續(xù)n個(gè)自然數(shù)相乘，1×2×3×…×n，乘積的尾部恰有25個(gè)連續(xù)的零，那么n的最大值是？

Answer 1

【答案】分析：首先5、10、15、20、25、…、105與其它偶數(shù)之積的個(gè)位至少有一個(gè)0，105÷5=21個(gè)，105÷25=4個(gè)…5，21+4=25個(gè)，即連續(xù)自然數(shù)乘積1×2×3×…×105的尾部恰有25個(gè)連續(xù)的0，所以1×2×3×…×n中，n的最大值是105+4=109．
解答：解：凡末位是0的數(shù)，都為乘積的尾部貢獻(xiàn)1個(gè)0，2×5=10，每10個(gè)連續(xù)數(shù)中，這樣就為乘積貢獻(xiàn)了2個(gè)零．
從1到100，乘積就有了20個(gè)0，但還有25、50、75和100，都可再貢獻(xiàn)1個(gè)0，這樣就有了24個(gè)0．
要再出現(xiàn)1個(gè)0，即湊成25個(gè)0，還必須出現(xiàn)1個(gè)5（因?yàn)?有的是），所以到105恰有乘積末尾恰有25個(gè)連續(xù)的0．
但此題問(wèn)的是n的最大值，也就是說(shuō)，最大到幾不會(huì)出現(xiàn)第26個(gè)0，顯然，是到109． 
故n的最大值是109．
點(diǎn)評(píng)：考查了質(zhì)因數(shù)分解，明確若干個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積末尾有多少個(gè)零，是由多少個(gè)因數(shù)5決定的是完成本題的關(guān)鍵．