Question

如圖，在△ABC中，AD⊥BC，垂足為D，E、F分別是AB、AC的中點．
（1）若∠C=70°，求∠AFD的度數(shù)
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AEDF為菱形？為什么？
（3）在（2）的基礎上，△ABC還需滿足什么條件才能使四邊形AEDF為正方形？為什么？

Answer 1

解：（1）∵AD⊥BC，
∴∠ADC=90°，即△ADC為直角三角形，
又F為斜邊AC的中點，
∴AF=CF=DF=AC，
∴∠FDC=∠C，又∠C=70°
∴∠FDC=∠C=70°，
又∠AFD為△FDC的外角，
∴∠AFD=∠FDC+∠C=140°；
（2）當△ABC滿足AB=AC時，四邊形AEDF為菱形，理由如下：
證明：∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴D為BC的中點，又F為AC的中點，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF=AB，DF∥AB，
又E為AB的中點，∴AE=AB，
∴DF=AE，且DF∥AE，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
同理DE為△ABC的中位線，
∴DE=AC，又AB=AC，
∴DE=DF，
則四邊形AEDF為菱形；
（3）△ABC需滿足AB=AC，再加上∠BAC=90°，可使四邊形AEDF為正方形，理由如下：
證明：∵AB=AC，且AD⊥BC，
∴D為BC的中點，又F為AC的中點，
∴DF為△ABC的中位線，
∴DF=AB，DF∥AB，
又E為AB的中點，∴AE=AB，
∴DF=AE，且DF∥AE，
∴四邊形AEDF為平行四邊形，
同理DE為△ABC的中位線，
∴DE=AC，又AB=AC，
∴DE=DF，
∴四邊形AEDF為菱形，
又∠BAC=90°，
∴四邊形AEDF為正方形．
分析：（1）由AD垂直于BC，根據(jù)垂直定義得到∠ADC=90°，即三角形ADC為直角三角形，又F為AC的中點，根據(jù)斜邊上的中線等于斜邊的一半，可得DF等于AC的一半，再根據(jù)中點定義得到AF與CF相等，且都等于AC的一半，等量代換可得DF=CF，根據(jù)等邊對等角得到∠FDC=∠C，由∠C的度數(shù)求出∠FDC的度數(shù)，由∠AFD為三角形FDC的外角，根據(jù)外角性質即可求出所求角的度數(shù)；
（2）三角形ABC滿足AB=AC時，四邊形AEDF為菱形，理由為：由AB=AC，且AD與BC垂直，根據(jù)三線合一得到D為BC的中點，又F為中點，可得DF為三角形ABC的中位線，可得DF與AB平行，且等于AB的一半，又AE也為AB的一半，等量代換可得AE=DF，又AE與DF平行，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形為平行四邊形，再由DE也為三角形ABC的中位線，可得ED等于AC的一半，由AB=AC，等量代換可得DE=DF，根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形為菱形可得AEDF為菱形；
（3）由第二問三角形ABC滿足AB=AC，得到AEDF為菱形，再加上∠BAC=90°，根據(jù)有一個角為直角的菱形為正方形可得AEDF為正方形．
點評：此題考查了直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，三角形的中位線定理，平行四邊形、菱形及正方形的判定，以及三角形的外角性質，屬于條件探究型題，解答此類題應采用“逆向思維”，視結論為題設，尋求必要條件，往往缺少的就是那個條件．