Question

如圖1，AB與CD相交于點O，若∠D=38°，∠B=28°，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試求：
（1）∠P的度數(shù)；
（2）設∠D=α，∠B=β，∠DAP=

1

3

∠DAB，∠DCP=

1

3

∠DCB，其他條件不變，如圖2，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系（用α、β表示∠P），直接寫出結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理表示出∠DAP-∠DCP，∠DAO-∠BCO，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解；
（2）與（1）的思路相同，然后代入數(shù)據(jù)進行計算即可得解．

解答：解：（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵AP、CP分別為∠DAB和∠BCD的平分線，
∴∠DAO=2∠DAP，∠BCO=2∠DCP，
∴∠DAO-∠BCO=2（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=2（∠P-∠D），
整理得，∠P=

1

2

（∠B+∠D），
∵∠D=38°，∠B=28°，
∴∠P=

1

2

（38°+28°）=33°；

（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，∠DAP+∠D=∠DCP+∠P，
∴∠DAP-∠DCP=∠P-∠D，
∠DAO+∠D=∠BCO+∠B，
∴∠DAO-∠BCO=∠B-∠D，
∵∠DAP=

1

3

∠DAB，∠DCP=

1

3

∠DCB，
∴∠DAO-∠BCO=3（∠DAP-∠DCP），
∴∠B-∠D=3（∠P-∠D），
整理得，∠P=

1

3

（∠B+2∠D），
∵∠D=α，∠B=β，
∴∠P=

1

3

（β+2α）．

點評：本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，整體思想的利用是解題的關鍵，此類題目的特點是思路相同．