Question

如圖，拋物線經(jīng)過A（，0），C（2，-3）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)D，與x軸交于另一點(diǎn)B．
（1）求此拋物線的解析式及頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）若將此拋物線平移，使其頂點(diǎn)為點(diǎn)D，需如何平移？寫出平移后拋物線的解析式；
（3）過點(diǎn)P（m，0）作x軸的垂線（1≤m≤2），分別交平移前后的拋物線于點(diǎn)E，F(xiàn)，交直線OC于點(diǎn)G，求證：PF=EG．

Answer 1

（1），（，）；（2）向左個單位長度，再向上平移個單位長度．平移后的拋物線解析式為：．（3）證明見解析.

試題分析：（1）把A（-1，0），C（2，-3）代入y=x²+bx+c，得到關(guān)于b、c的二元一次方程組，解方程組求出b、c的值，即可求出拋物線的解析式，再利用配方法將一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）先求出拋物線y=x²-x-2與y軸交點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，-2），再根據(jù)平移規(guī)律可知將點(diǎn)（，?）向左平移個單位長度，再向上平移個單位長度，可得到點(diǎn)D，然后利用頂點(diǎn)式即可寫出平移后的拋物線解析式為：y=x²-2；
（3）先用待定系數(shù)法求直線OC的解析式為y=-x，再將x=m代入，求出y_G=?m，y_F=m²-2，y_E=m²- m-2，再分別計(jì)算得出PF=-（m²-2）=2-m²，EG=y_G-y_E=2-m²，由此證明PF=EG．
（1）解：把A（，0），C（2，-3）代入得：
，解得： 
∴拋物線的解析式為：，
∵
∴其頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（，）．
（2）、解：向左個單位長度，再向上平移個單位長度．
平移后的拋物線解析式為：． 
(3)證明：用待定系數(shù)法求直線OC的解析式為y = －x,
當(dāng)x=m時， =，則PF=－()=2－，
當(dāng)x=m時，=，=，
則EG=－=2－，
∴PF=EG．