Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，在邊AB上截取AD=AC，連接CD，若點(diǎn)D恰好是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，則∠A的度數(shù)是

 

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Answer 1

考點(diǎn)：黃金分割

專題：計(jì)算題

分析：根據(jù)黃金分割的定義得到AD²=BD•AB，而AD=AC=BC，則BC²=BD•AB，根據(jù)相似三角形的判定得△BCD∽△BAC，則∠A=∠BCD，設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BCD=x，根據(jù)三角形外角性質(zhì)得∠ADC=∠BCD+∠B=2x，所以∠ACD=∠ADC=2x，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到x+2x+x+x=180°，再解方程即可．

解答：解：∵點(diǎn)D是線段AB的一個(gè)黃金分割點(diǎn)，
∴AD²=BD•AB，
∵AD=AC=BC，
∴BC²=BD•AB，
即BC：BD=AB：BC，
而∠ABC=∠CBD，
∴△BCD∽△BAC，
∴∠A=∠BCD，
設(shè)∠A=x，則∠B=x，∠BCD=x，
∴∠ADC=∠BCD+∠B=2x，
而AC=AD，
∴∠ACD=∠ADC=2x，
∴x+2x+x+x=180°，解得x=36°．
故答案為36°．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了黃金分割：把線段AB分成兩條線段AC和BC（AC＞BC），且使AC是AB和BC的比例中項(xiàng)（即AB：AC=AC：BC），叫做把線段AB黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)．其中AC=

5 -1

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AB≈0.618AB，并且線段AB的黃金分割點(diǎn)有兩個(gè)．