【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=12cm,BD=16cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;過點(diǎn)P作直線PFAD,PF交CD于點(diǎn)F,過點(diǎn)F作EFBD,且與AD、BD分別交于點(diǎn)E、Q;連接PE,設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0<t<10).

解答下列問題:

(1)填空:AB= cm;

(2)當(dāng)t為何值時(shí),PEBD

(3)設(shè)四邊形APFE的面積為y(cm2

①求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

②若用S表示圖形的面積,則是否存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形APFE=S菱形ABCD?若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說明理由.

【答案】(1)10;(2)當(dāng)t=5時(shí),PEBD;(3),②存在t=4s,使得S四邊形APFE=S菱形ABCD

【解析】

試題分析:(1)由四邊形ABCD是菱形,OA=AC,OB=BD.在RtAOB中,運(yùn)用勾股定理求出AB=10.

(2)由APE∽△ABD,得出,求出t的值即可;

(3)①過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G,由S菱形ABCD=ABCG=ACBD,求出CG.據(jù)S平行四邊形APFD=(AP+DF)CG.SEFD=EFQD.得出y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;

②由S菱形ABCD=ABCG,求出CG,由S四邊形APFE=S菱形ABCD,求出t即可.

解:(1)在菱形ABCD中,對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,且AC=12cm,BD=16cm,

BO=DO=8cm,AO=CO=6cm,

AB==10(cm),

故答案為:10;

(2)在菱形ABCD中,ABCD,ADB=CDB

PFAD,

四邊形APFD為平行四邊形,

DF=AP=t,

EFBD于Q,且ADB=CDB,

∴∠DEF=DFE,

DE=DF=t,

AE=10﹣t,

當(dāng)PEBD時(shí),APE∽△ABD,

,

,

t=5,

當(dāng)t=5時(shí),PEBD;

(3)①∵∠FDQ=CDOFQD=COD=90°,

∴△DFQ∽△DCO

,

,

同理,,

如圖,過點(diǎn)C作CGAB于點(diǎn)G,

S菱形ABCD=ABCG=ACBD,

即10CG=×12×16,

CG=

S平行四邊形APFD=DFCG=,

SEFD=EFQD=

,

②當(dāng)S四邊形APFE=S菱形ABCD

即t2﹣20t+64=0,

解這個(gè)方程,得t1=4,t2=16>10(不合,舍去)

存在t=4s,使得S四邊形APFE=S菱形ABCD

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(1)求證:四邊形ADEC是平行四邊形

(2)以線段PE為對(duì)角線作正方形MPNE,點(diǎn)M、N分別在第一、四象限.

①當(dāng)點(diǎn)M、N中有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的邊上時(shí),求出所有滿足條件的t的值;

②若點(diǎn)M、N中恰好只有一點(diǎn)落在四邊形ADEC的內(nèi)部(不包括邊界)時(shí),設(shè)PCOD的面積為S,直接寫出S的取值范圍.

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(2)以原點(diǎn)O為位似中心,位似比為1:2,在y軸的左側(cè),畫出 將ABC放大后的A2B2C2,并寫出A2點(diǎn)的坐標(biāo);

(3)若點(diǎn)D(a,b)在線段AB上,直接寫出經(jīng)過(2)的變化后點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D2的坐標(biāo).

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