【題目】已知四邊形ABCD中,AB=AD,AB⊥AD,連接AC,過點A作AE⊥AC,且使AE=AC,連接BE,過A作AH⊥CD于H交BE于F.
(1)如圖1,當E在CD的延長線上時,求證:①△ABC≌△ADE;②BF=EF;
(2)如圖2,當E不在CD的延長線上時,BF=EF還成立嗎?請證明你的結(jié)論.
【答案】(1)詳見解析;(2)結(jié)論仍然成立,理由詳見解析.
【解析】
試題分析:(1)①根據(jù)已知條件,利用SAS即可判定△ABC≌△ADE;②易證BC∥FH和CH=HE,根據(jù)平行線分線段成比例定理可證得BF=EF.(2)過E作MN⊥AH,交BA、CD延長線于M、N,,利用ASA證明△MAE≌△DAC,得AD=AM,根據(jù)等量代換得AB=AM,根據(jù)②同理得出結(jié)論.
試題解析:證明:(1)①如圖1,
∵AB⊥AD,AE⊥AC,
∴∠BAD=90°,∠CAE=90°,
∴∠1=∠2,
在△ABC和△ADE中,
∵
∴△ABC≌△ADE(SAS);
②如圖1,
∵△ABC≌△ADE,
∴∠AEC=∠3,
在Rt△ACE中,∠ACE+∠AEC=90°,
∴∠BCE=90°,
∵AH⊥CD,AE=AC,
∴CH=HE,
∵∠AHE=∠BCE=90°,
∴BC∥FH,
∴=1,
∴BF=EF;
(2)結(jié)論仍然成立,理由是:
如圖2所示,過E作MN⊥AH,交BA、CD延長線于M、N,
∵∠CAE=90°,∠BAD=90°,
∴∠1+∠2=90°,∠1+∠CAD=90°,
∴∠2=∠CAD,
∵MN∥AH,
∴∠3=∠HAE,
∵∠ACH+∠CAH=90°,∠CAH+∠HAE=90°,
∴∠ACH=∠HAE,
∴∠3=∠ACH,
在△MAE和△DAC中,
∵
∴△MAE≌△DAC(ASA),
∴AM=AD,
∵AB=AD,
∴AB=AM,
∵AF∥ME,
∴=1,
∴BF=EF.
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=6cm,AD=8cm,點P從點B出發(fā),沿對角線BD向點D勻速運動,速度為4cm/s,過點P作PQ⊥BD交BC于點Q,以PQ為一邊作正方形PQMN,使得點N落在射線PD上,點O從點D出發(fā),沿DC向點C勻速運動,速度為3m/s,以O(shè)為圓心,0.8cm為半徑作⊙O,點P與點O同時出發(fā),設(shè)它們的運動時間為t(單位:s)(0<t<).
(1)如圖1,連接DQ平分∠BDC時,t的值為 ;
(2)如圖2,連接CM,若△CMQ是以CQ為底的等腰三角形,求t的值;
(3)請你繼續(xù)進行探究,并解答下列問題:
①證明:在運動過程中,點O始終在QM所在直線的左側(cè);
②如圖3,在運動過程中,當QM與⊙O相切時,求t的值;并判斷此時PM與⊙O是否也相切?說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以下現(xiàn)象:①水管里水的流動;②滑雪運動員在平坦的雪地上滑行;③射出的子彈;④火車在筆直的鐵軌上行駛.其中是平移的是( )
A.①②
B.①③
C.②③
D.②④
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在大樓AB的正前方有一斜坡CD,CD=4米,坡角∠DCE=30°,小紅在斜坡下的點C處測得樓頂B的仰角為60°,在斜坡上的點D處測得樓頂B的仰角為45°,其中點A、C、E在同一直線上.
(1)求斜坡CD的高度DE;
(2)求大樓AB的高度(結(jié)果保留根號)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖①,在中, , , . 是經(jīng)過點的直線, 于, 于.
(1)求證: .
(2)若將繞點旋轉(zhuǎn),使與相交于點 (如圖②),其他條件不變,
求證: .
(3)在(2)的情況下,若的延長線過的中點(如圖③),連接,
求證: .
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