Question

（2012•拱墅區(qū)二模）如圖，已知∠A，請(qǐng)你僅用尺規(guī)，按下列要求作圖和計(jì)算（不必寫畫法）：
（1）選取適當(dāng)?shù)倪呴L(zhǎng)，在所給的∠A圖形上畫一個(gè)含∠A 的直角三角形ABC，并標(biāo)上字母，其中點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，點(diǎn)B為另一銳角頂點(diǎn)；
（2）以AC為一邊作等邊△ACD；
（3）若設(shè)∠A=30°、BC邊長(zhǎng)為a，則BD的長(zhǎng)為

7

a或a

．

Answer 1

分析：（1）在一邊上任取一點(diǎn)C，然后過點(diǎn)C作AC的垂線與另一邊相交于點(diǎn)B，則△ABC即為所求作的三角形；
（2）分別以A、C為圓心，以AC長(zhǎng)為半徑畫弧，相交于點(diǎn)D，連接AD、CD則△ACD即為所求作的等邊三角形；
（3）根據(jù)30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出AB的長(zhǎng)度，再利用勾股定理求出AC的長(zhǎng)度，然后分兩種情況①點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，求出DE、CE的長(zhǎng)度，然后求出BE的長(zhǎng)度，再利用勾股定理列式計(jì)算即可得解，②點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，求出∠BAD=30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得AB⊥CD，再根據(jù)對(duì)稱性可得△ABD與△ABC關(guān)于AB成軸對(duì)稱，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得BD=BC．

解答：解：（1）如圖所示，△ABC為所求作的直角三角形（答案不唯一）；

（2）如圖所示，△ACD為所求作的等邊三角形，有點(diǎn)D在AC的上方與下方兩種情況；

（3）∵∠A=30°、BC邊長(zhǎng)為a，
∴AB=2BC=2a，
根據(jù)勾股定理，AC=

AB2-BC2

=

(2a)2-a2

=

3

a，
①點(diǎn)D在AC的下方時(shí)，作DE⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，
則DE=

1

2

AC=

3

2

a，CE=

3

a•sin60°=

3

a×

3

2

=

3

2

a，
所以，BE=BC=CE=a+

3

2

a=

5

2

a，
在Rt△BDE中，BD=

DE2+BE2

=

( 3 2 a)2+( 5 2 a)2

=

7

a；
②點(diǎn)D在AC的上方時(shí)，∵∠A=30°，
∴∠BAD=60°-30°=30°，
∴∠BAC=∠BAD，
∴AB⊥CD，
∴△ABD與△ABC關(guān)于AB成軸對(duì)稱，
∴BD=BC，
∵BC=a，
∴BD=a；
綜上所述，BD的長(zhǎng)度為

7

a或a．
故答案為：

7

a或a．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)雜作圖，主要利用了過一點(diǎn)作已知直線的垂線，已知一邊作等邊三角形，都是基本作圖，（3）題要注意分點(diǎn)D在AC的上方與下方兩種情況討論求解．