Question

如圖，正方形ABCD中，AB=1，BC為⊙O的直徑，P是AD邊上一點(diǎn)，BP交⊙O于點(diǎn)F，CF的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)E，連接PE．若CF=2EF，則PF的長(zhǎng)為    ．

Answer 1

【答案】分析：由BC為⊙O的直徑，正方形ABCD，易證得AB是⊙O的切線，由弦切角定理，可得∠ABP=∠FCB，易證得△ABP≌△BCE，△CEB∽△CBF，即可得CE=BP，，又由AB=1，CF=2EF，可求得EF，CF，CE的長(zhǎng)，然后由勾股定理可求得BF的長(zhǎng)，繼而求得答案．
解答：解：∵BC為⊙O的直徑，
∴∠BFC=90°，
即BF⊥EC，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴AB=BC=1，∠ABC=∠A=90°，
∴AB是⊙O的切線，
∴∠ABP=∠FCB，
在△ABP和△BCE中，
∵，
∴△ABP≌△BCE（ASA），
∴BP=EC，
∵∠EBC=∠CFB=90°，∠EBF=∠FCB，
∴△CEB∽△CBF，
∴，
∵CF=2EF，
∴，
∴EF=，
∴CF=2EF=，EC=3EF=，
∴BP=，
在Rt△BCF中，BF==，
∴PF=BP-BF=-=．
故答案為：．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、切線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、正方形的性質(zhì)以及勾股定理等知識(shí)．此題難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．