Question

13、如果關于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有兩個相等的實數根，那么以a，b，c為三邊的△ABC是什么三角形？請說明理由．

Answer 1

分析：先把方程變?yōu)橐话闶剑海╝+c）x²+2bx+a-c=0，由方程有兩個相等的實數根，得到△=0，即△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²+c²-a²）=0，則有b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²，根據勾股定理的逆定理可以判斷△ABC的形狀．

解答：解：△ABC是以a為斜邊的直角三角形．
理由如下：
去括號，整理為一般形式為：（a+c）x²+2bx+a-c=0，
∵關于x的一元二次方程a（1+x²）+2bx-c（1-x²）=0有兩個相等的實數根．
∴△=0，即△=（2b）²-4（a+c）（a-c）=4（b²+c²-a²）=0．
∴b²+c²-a²=0，即b²+c²=a²．
所以△ABC是以a為斜邊的直角三角形．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了勾股定理的逆定理．