Question

如圖已知：直線交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過A、B、C（1，0）三點(diǎn).

（1）求拋物線的解析式;

（2）若點(diǎn)D的坐標(biāo)為（-1，0），在直線上有一點(diǎn)P,使ΔABO與ΔADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使ΔADE的面積等于四邊形APCE的面積？如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

解（1）：由題意得，A（3，0），B（0，3）

              ∵拋物線經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)，∴把A（3，0），B（0，3），C（1，0）三點(diǎn)分別代入得方程組

解得：

∴拋物線的解析式為                     

（2）由題意可得：△ABO為等腰三角形,如圖所示，

若△ABO∽△AP₁D，則

∴DP₁=AD=4  ,

∴P₁

若△ABO∽△ADP₂ ，過點(diǎn)P₂作P₂ M⊥x軸于M，AD=4,

∵△ABO為等腰三角形, ∴△ADP₂是等腰三角形,由三線合一可得：DM=AM=2= P₂M，即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合∴P₂（1，2）

（3）如圖設(shè)點(diǎn)E ，則

①當(dāng)P₁(-1,4)時(shí)，

S_{四邊形AP1CE}=S_{三角形ACP1}+S_三角形ACE

 = ………………………11分

             ∴    ∴

∵點(diǎn)E在x軸下方  ∴

代入得： ,即

∵△=(-4)²-4×7=-12<0

∴此方程無解

②當(dāng)P₂（1，2）時(shí)，S_{四邊形AP2CE}=S_{三角形ACP2}+S_三角形ACE =     

              ∴    ∴

∵點(diǎn)E在x軸下方  ∴  代入得：

即 ，∵△=(-4)²-4×5=-4<0

∴此方程無解

綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E.