Question

用長8m的鋁材，做一個(gè)日字形窗框，如圖，問：
（1）高和寬各多少m時(shí)，窗戶的透光面積為

8

3

m²？
（2）可不可能使窗戶的透光面積為2.7m²？
（3）高和寬各多少m時(shí)，窗戶的透光面積有最大值，最大面積為多少？

Answer 1

分析：（1）設(shè)窗戶的寬為x米，則窗戶的高為

8-3x

2

米，利用

8

3

=x（

8-3x

2

），解方程得出即可；
（2）根據(jù)2.7=x（

8-3x

2

），整理為一元二次方程一般形式，進(jìn)而利用△判斷即可；
（3）設(shè)出矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為

8-3x

2

米，利用長方形的面積求出函數(shù)解析式，進(jìn)一步利用函數(shù)求最大值．

解答：解：（1）設(shè)窗戶的寬為x米，則窗戶的高為

8-3x

2

米，
當(dāng)窗戶的透光面積為

8

3

m²，
即

8

3

=x（

8-3x

2

），
解得：x₁=x₂=

4

3

，
則

8-3× 4 3

2

=2，
高和寬，為2m和

4

3

時(shí)，窗戶的透光面積為

8

3

m²；

（2）當(dāng)窗戶的透光面積為2.7m²，
即2.7=x（

8-3x

2

），
整理得出：3x ²-8x+5.4=0，
則b²-4ac=64-64.8=-0.8＜0，
故不可能使窗戶的透光面積為2.7m²；


（3）設(shè)矩形窗戶的透光面積為S平方米，窗戶的寬為x米，則窗戶的高為

8-3x

2

米，
由此得出S=x（

8-3x

2

），
整理得S=-

3

2

x²+4x=-

3

2

（x-

4

3

）²+

8

3

，
因?yàn)?

3

2

＜0，拋物線開口向下，取得最大值，最大值為

8

3

．

點(diǎn)評：此題主要考查了利用二次函數(shù)求實(shí)際問題的最大值與最小值以及一元二次方程的應(yīng)用，表示出矩形窗戶的高是解題關(guān)鍵．