Question

如圖1，四邊形ABCD是矩形，P是BC邊上的一點，連接PA、PD

（１）求證：PA＋PC＝PB＋PD

（２）如圖2，當點A在矩形ABCD的內部時，連接PA、PB、PC、PD．上面的結論是否還成立？說明理由．

（３）當點A在矩形ABCD的外部時，連接PA、PB、PC、PD．上面的結論是否還成立？（不說明理由）

Answer 1

（１）證明：作PE⊥AD于點E

∵四邊形ABCD是矩形

∴∠B＝∠C＝∠BAD＝∠ADC＝90°

∴四邊形ABPE是矩形

∴AB＝PE＝CD

∴PA＝PB＋AB

PD＝PC＋CD

∴PA＋PC＝PB＋AB＋PC

PB＋PD＝PB＋PC＋CD＝PB＋PC＋AB

∴PA＋PC＝PB＋PD．

（２）成立

過點P作AD的垂線，交AD于點E，交BC于點F

則四邊形ABFE和CDEF為矩形

∴AE＝BF，DE＝CF

由勾股定理得：

則AP＝AE＋PE，PC＝PF＋CF

BP＝BF＋PF，PD＝DE＋PE

∴PA＋PC＝AE＋PE＋PF＋CF

PB＋PD＝BF＋PF＋DE＋PE

∴PA＋PC＝PB＋PD．

（３）成立．．