Question

已知，如圖，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，△ABC的頂點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，關(guān)于x的方程x²-4x+m²-2m+5=0有實(shí)數(shù)根，并且AB、AC的長(zhǎng)分別是方程兩根的5倍．
（1）求AB、AC的長(zhǎng)；
（2）若tan∠ACO=

4

3

，P是AB的中點(diǎn)，求過(guò)C、P兩點(diǎn)的直線解析式；
（3）在（2）問(wèn)的條件下，坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)M，使以點(diǎn)O、M、P、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）原方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)完全平方式的和，從而求出方程兩根，進(jìn)一步求出AB、AC的長(zhǎng)；
（2）根據(jù)三角函數(shù)先求出C、P兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出C、P兩點(diǎn)的直線解析式；
（3）點(diǎn)M的坐標(biāo)有四個(gè)．

解答：解：（1）方法一：
∵x²-4x+m²-2m+5=0，
（x-2）²+（m-1）²=0
∴x=2，m=1，
x²-4x+4=0，
x₁=x₂=2
AB=AC=10
方法二：
∵方程有實(shí)數(shù)根
∴△=-（m-1）²≥0
∴（m-1）²≤0而（m-1）²≥0
∴m=1
∴x₁=x₂=2
∴AB=AC=10

（2）∵AC=10，tan∠ACO=

4

3

，
∴OA=8，OC=6，
∴點(diǎn)C（6，0），B（-6，0），A（0，8），
∵P是AB的中點(diǎn)，
∴P（-3，4），
設(shè)y=kx+b，
∴

6k+b=0 -3k+b=4

，
解得：

k=- 4 9 b= 8 3

，
∴y_CP=-

4

9

x+

8

3

（3）M₁（3，4），M₂（9，-4），M₃（-9，4）．

點(diǎn)評(píng)：此題難度較大，綜合考查函數(shù)、方程等知識(shí)，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．