Question

如圖，點(diǎn)A，B在反比例函數(shù)y=

2

x

（x＞0）的圖象上，△OAB是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，則△OAB的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征

專(zhuān)題：

分析：過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，過(guò)A作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，直線(xiàn)AD交BC于E，設(shè)B（a，b），先證明△ABE≌△BOC，得出BE=CO=a，AE=BC=b，根據(jù)點(diǎn)A、D是反比例函數(shù)上的點(diǎn)，得出有關(guān)三角形的面積，通過(guò)解方程組求出b²=-1+

5

，a²=1+

5

，即可得出結(jié)果．

解答： 解：過(guò)B作x軸的垂線(xiàn)，垂足為C，過(guò)A作y軸的垂線(xiàn)，垂足為D，直線(xiàn)AD交BC于E，如圖所示：
設(shè)B（a，b），
∵△OAB是等腰直角三角形，
∴AB=OB，∠ABO=90°，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ABE和△BOC中，

∠2=∠3   ∠BCO=∠AEB=90°   AB=BC

，
∴△ABE≌△BOC（AAS），
∴BE=CO=a，AE=BC=b，
∴AD=a-b，OD=a+b，
∴A（a-b，a+b），
∵S_△OAD=

1

2

（a+b）（a-b）=

1

2

×2=1，S_△OBC=

1

2

ab=1，
∴

a2-b2=2 ab=2

，
解得b²=-1+

5

，a²=1+

5

，
∴S_△OAB=S_矩形OCED-S_OBC-S_△OAD-S_△ABE
=a（a+b）-1-1-1
=a²+ab-3
=1+

5

+2-3
=

5

．
故答案為：

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；通過(guò)作輔助線(xiàn)構(gòu)造全等三角形，得出坐標(biāo)之間的關(guān)系，通過(guò)解方程組求出答案是解題的關(guān)鍵．