Question

如圖，在△ABC中，AC=BC，E，F(xiàn)分別為BC，AC的中點(diǎn)，連接AE，BF．
（1）如圖1，求證：∠FBC=∠EAC；
（2）如圖2，若∠C=90°，延長(zhǎng)EA，BF至點(diǎn)M，N，BN=2BF，EM=2EA，請(qǐng)你探究線段BN與MN的關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）證△AEC≌△BFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出即可．
（2）連接AN，作MH⊥AN于H，證△AFN≌△CFB，推出∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，求出∠MAH=∠AEC，AN=BC，證△MAH≌△AEC，推出AH=EC=HN=

1

2

BC=

1

2

AN，證△MAH≌△MNH，推出MN=AM=

1

2

EM=

1

2

BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，即可求出∠MNH+∠ANB=90°．

解答：證明：（1）∵AC=BC，E、F分別為BC、AC的中點(diǎn)，
∴BE=CE=AF=FC，
在△AEC和△BFC中，

AC=BC ∠C=∠C EC=FC

∴△AEC≌△BFC（SAS），
∴∠FBC=∠EAC．


（2）NB=2MN，BN⊥MN，
由（1）△AEC≌△BFC，
∴AE=BF，∠FBC=∠EAC，
∵BN=2BF，EM=2EA，
∴BN=EM，
連接AN，作MH⊥AN于H，
在△AFN和△CFB中，

AF=FC ∠AFN=∠BFC FN=BF

，
∴△AFN≌△CFB（SAS），
∴∠ANF=∠FBC，∠NAF=∠C=90°，
∵∠MAH+∠EAC=90°，∠AEC+∠EAC=90°，
∴∠MAH=∠AEC，AN=BC，
在△AMH和△AEC中，

∠AHM=∠C ∠MAH=∠AEC AM=EA

∴△MAH≌△AEC（AAS），
∴AH=EC=HN=

1

2

BC=

1

2

AN，
在△AMH和△NMH中，

MH=MH ∠AHM=∠MHN AH=HN

，
∴△MAH≌△MNH（SAS），
∴MN=AM=

1

2

EM=

1

2

BN，∠MNH=∠MAH=∠AEC，
∵∠EAC=∠FBC=∠ANF，
∴∠MNH+∠ANB=90°，
∴NB=2MN，BN⊥MN．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力，難道偏大．