Question

在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)學(xué)生去測一條南北流向的河寬，如圖所示，某學(xué)生在河?xùn)|岸點(diǎn)A處觀測到河對岸水邊有一點(diǎn)C，測得C在A北偏西31°的方向上，沿河岸向北前行20米到達(dá)B處，測得C在B北偏西45°的方向上，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)，幫助該同學(xué)計(jì)算出這條河的寬度．（參考數(shù)值：tan31°≈

3

5

，sin31°≈

1

2

）

Answer 1

分析：河寬就是點(diǎn)C到AB的距離，因此過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，根據(jù)AB=AD-BD=20，通過解兩個直角三角形分別表示AD、BD的方程求解．

解答：解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，
設(shè)CD=x米，
在Rt△BCD中，∠CBD=45°，
∴BD=CD=x米．
在Rt△ACD中，∠DAC=31°，
AD=AB+BD=（20+x）米，CD=x米，（3分）
∵tan∠DAC=

CD

AD

，
∴

x

20+x

=

3

5

，
解得x=30．
經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解，且符合題意．
答：這條河的寬度為30米．（6分）

點(diǎn)評：“化斜為直”是解三角形的基本思路，因此需作垂線（高）構(gòu)造直角三角形．