Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點D，E，過點D作DF⊥AC，垂足為點F．

（1）求證：DF為⊙O的切線；

（2）求證：F為CE的中點；

（3）若⊙O的半徑為3，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積；

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）

【解析】

（1）連接AD，OD，先根據(jù)圓周角定理得出，再由三線合一得出D是BC的中點，再證得，最后證得DF⊥OD即可；

（2）先根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和等量代換求得，再根據(jù)三線合一即可證明F為CE的中點；

（3）首先求出的度數(shù)，然后根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得出的度數(shù)，再得出，最后根據(jù)陰影部分的面積=扇形AOE的面積－的面積求解即可.

（1）連接AD，OD，如圖1所示：

∵AB是直徑

∴

∴

∵AB＝AC

∴D是BC的中點

∵O是AB的中點

∴OD是中位線

∴

∵DF⊥AC

∴DF⊥OD

∴DF為⊙O的切線；

（2）連接DE，如圖2所示：

∵四邊形ABDE是圓的內(nèi)接四邊形

∴

∵AB＝AC

∴

∴

∵DF⊥AC

∴F為CE的中點；

（3）連接DE、OE、BE，如圖3所示：

由（2）中可知DF為的角平分線，

∵，

∴，

∴，

∵AB是直徑，

∴，

∴，

∴是等腰直角三角形，

∴，

∴.