Question

如圖，△ABC中，AB=20，BC=21，AC=13，如果動(dòng)點(diǎn)D以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)的速度從點(diǎn)B出發(fā)沿射線BA方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到12秒時(shí)停止，直線DE∥BC，E為直線DE與直線CA的交點(diǎn)，若點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)間設(shè)為t秒．
（1）求當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)線段DE的長(zhǎng)度（用含t的代表式表示）；
（2）求出△DEC的面積S與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式；
（3）S是否有最大值？若有，請(qǐng)求出最大值和相應(yīng)t的值；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)DE∥BC推出△ADE∽△ABC，得出

DE

21

=

20-2t

20

，求出即可；
（2）分為三種情況：①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，作AN⊥BC于點(diǎn)N，由勾股定理求出BN=16，AN=12，推出△BDM∽△BAN，得出比例式，求出DM=

6

5

t，根據(jù)S=

1

2

×DE×DM，代入求出S=-

63

50

t²+

63

5

t；②當(dāng)10＜t≤12時(shí)，根據(jù)△BAN∽△BDM得出比例式，代入求出DM=

6

5

t，根據(jù)△DEA∽△BAC汽車DE=

21

10

t-21，求出S=

63

50

t²-

63

5

t；③當(dāng)D與A重合時(shí)，2t=20，求出t=10，S=S_△ABC；
（3）求出三種情況的最大值即可．

解答：解：（1）根據(jù)題意得：BD=2t，
當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，AD=AB-BD=20-2t，
∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，
即

DE

21

=

20-2t

20

，
解得：DE=21-

21

10

t；

（2）①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，如圖1，過(guò)點(diǎn)D作DM⊥BC于點(diǎn)M，作AN⊥BC于點(diǎn)N，
由勾股定理得：AN²=20²-BN²=13²-（21-BN）²，
BN=16，AN=12，
∴DM∥AN，
∴△BDM∽△BAN，
∴

BD

AB

=

DM

AN

，即

2t

20

=

DM

12

，
DM=

6

5

t，
S=

1

2

×DE×DM=

1

2

•（21-

21

10

t）•

6

5

t
S=-

63

50

t²+

63

5

t；
②當(dāng)10＜t≤12時(shí)，如圖2，
∵AN∥DM，
∴△BAN∽△BDM，
∴

BD

AB

=

DM

AN

，即

2t

20

=

DM

12

，
DM=

6

5

t，
∵DE∥BC，
∴△DEA∽△BAC，
∴

DE

BC

=

AD

AB

，

DE

21

2t-20

20

，
DE=

21

10

t-21，
S=

1

2

×DE×DM=

1

2

•（

21

10

t-21）•

6

5

t
S=

63

50

t²-

63

5

t；
③當(dāng)D與A重合時(shí)，2t=20，
解得：t=10，
S=S_△ABC=

1

2

×BC×AN=

1

2

×21×12=126；
即S=

- 63 50 t2+ 63 5 t(0＜t＜10) 63 50 t2- 63 5 t(10＜t≤12) 126(t=10)

；

（3）S有最大值，
理由是：①當(dāng)0＜t＜10時(shí)，S=-

63

50

t²+

63

5

t=-

63

50

（t-5）²+31.5；
當(dāng)t=5時(shí)，此時(shí)S的最大值是31.5，
②當(dāng)10＜t≤時(shí)，
S=

63

50

t²-

63

5

t=

63

50

（t-5）²-31.5，
拋物線的開(kāi)口向上，在對(duì)稱軸的右側(cè)，s隨t的增大，當(dāng)t取12時(shí)，S最大，最大值是30.24
③當(dāng)D與A重合時(shí)，2t=20，
解得：t=10，
S=S_△ABC=

1

2

×BC×AN=

1

2

×21×12=126；
綜合上述，當(dāng)t=10時(shí)，S最大，最大值是126．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的最值，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，題目難度偏大．