Question

【題目】（1） [探索發(fā)現(xiàn)]正方形中,是對(duì)角線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(與點(diǎn)不重合),過(guò)點(diǎn)作交線段于點(diǎn)．求證:

小玲想到的思路是:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)于點(diǎn),通過(guò)證明得到．請(qǐng)按小玲的思路寫出證明過(guò)程

（2）[應(yīng)用拓展]如圖2,在的條件下，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為,過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)．求的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥BC于G，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥DC于H，如圖1．要證PB=PE，只需證到△PGB≌△PHE即可；

（2）連接BD，如圖2．易證△BOP≌△PFE，則有BO=PF，只需求出BO的長(zhǎng)即可．

證明:過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，于點(diǎn)

是對(duì)角線上的動(dòng)點(diǎn)

，

∠GPC+∠CPE= 90°

（2）連接BD，如圖2．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BOP=90°．

∵PE⊥PB即∠BPE=90°，

∴∠PBO=90°-∠BPO=∠EPF．

∵EF⊥PC即∠PFE=90°，

∴∠BOP=∠PFE．

在△BOP和△PFE中，

，

∴△BOP≌△PFE（AAS），

∴BO=PF．

∵四邊形ABCD是正方形，

∴OB=OC，∠BOC=90°，

∴BC=OB．

∵BC=2，

∴OB=，

∴PF=．