Question

（2012•晉江市質(zhì)檢）已知直線y=kx-6（k＞0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設(shè)運動時間為t秒．
（1）填空：點P的坐標(biāo)為（

t

，

0

）；
（2）當(dāng)k=1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發(fā)，當(dāng)點P到達(dá)點A時兩點同時停止運動，如圖①．作BF⊥PC于點F，若以B、F、Q、P為頂點的四邊形是平行四邊形，求t的值．
（3）當(dāng)k=

3

4

時，設(shè)以C為頂點的拋物線y=（x+m）²+n與直線AB的另一交點為D（如圖②），設(shè)△COD的OC邊上的高為h，問：是否存在某個時刻t，使得h有最大值？若存在，試求出t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)P點的運動速度和運動時間可得到OP的長，則P點坐標(biāo)可求．
（2）從圖中可以看出，已知的條件有PQ∥BF，只需令PQ=BF就能得到以B、F、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形的結(jié)論，在求PQ的表達(dá)式時要注意P、Q的位置．
（3）首先要求出A、B、C、D四點的坐標(biāo)，過D作PC的垂線交PC于E，根據(jù)D點坐標(biāo)和拋物線對稱軸方程，可確定E點坐標(biāo)及DE的長，根據(jù)構(gòu)建的相似三角形△CED、△BOA求出CD的長，此時能發(fā)現(xiàn)CD長為定值，而△OCD中CD邊上的高也是定值（可在△OAB中利用面積公式求得），所以O(shè)C邊越短、OC邊上的高h(yuǎn)就越大，因此當(dāng)h最大時，OC應(yīng)垂直CD，即OC是CD邊的高，根據(jù)前面求得的OC長，結(jié)合相似三角形△OPC、△BOA求出OP的長，即可求得t的值．

解答：解：（1）由題意，動點P的速度為每秒1個單位長度，運動時間為t秒，則OP=t，即：P（t，0）

（2）當(dāng)k=1時，直線AN的解析式為：y=x-6，令y=0，則x=6，則AO=6
由題意得：PF∥OB，BF∥OP，∠AOB=90°，∴四邊形BFPO是矩形，
∴BF=OP=t，∴AQ=OP=t，PQ=6-2t
若四邊形BFQP是平行四邊形，如圖1，則BF=PQ，t=6-2t，解得：t=2，符合題意；
若四邊形BFPQ是平行四邊形，如圖2，則BF=PQ，t=2t-6，即點P與點A重合時，此時四邊形BFPQ是矩形，故t=6符合題意．

（3）由題意得：C（t，

3

4

t-6），以C為頂點的拋物線解析式是y=（x-t）²+

3

4

t-6；
當(dāng)k=

3

4

時，直線AB解析式為：y=

3

4

x-6，同理可得：A（8，0），B（0，-6）．
由（x-t）²+

3

4

t-6=

3

4

x-6，得解：x₁=t，x₂=t+

3

4

如圖3，過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°．
∵PC∥OB，∴∠OBA=∠ECD，
∴△DEC∽△AOB
∴

DE

OA

=

CD

BA

在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=

OA2+OB2

=

82+62

=10．
∵AO=8，AB=10，DE=（t+

3

4

）-t=

3

4

，
∴CD=

DE•BA

OA

=

3 4 ×10

8

=

15

16

．
∴CD邊上的高=

6×8

10

=

24

5

，
∵∠AOB=90°，
∴∠COP=90°-∠BOC=∠OBA．
又∵CP⊥OA，即∠OPC=90°，
∴∠OPC=∠AOB=90°
∴Rt△OPC∽Rt△BOA
∴

OP

BO

=

OC

BA

，即OP=

OC•BO

BA

=

24 5 ×6

10

=

72

25

∴當(dāng)t=

72

25

時，h的值最大．

點評：該題是圖形中的動點問題，考查了二次函數(shù)、相似三角形、圖形面積的求法、特殊四邊形的判定和性質(zhì)等重要知識；（3）的難度較大，能否找出h最大時OC的位置和大小是解答題目的關(guān)鍵所在．