【題目】如圖,四邊形ABCD中AB=BC=CD=AD,∠BAD=90°,對角線AC、BD相交于點O.
(1)求證:四邊形ABCD是正方形;
(2)若P是對角線BD上任意一點,連接PA,PA繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到PE,連接AE、BE.
①根據(jù)題意畫圖,判斷B、C、E三點是否共線,并說明理由;
②當(dāng)BD=8,△PBE的面積等于時,求PB的長
【答案】(1)見解析;(2)①B、C、E三點共線,見解析;②PB為1或3或
【解析】
(1)根據(jù)正方形的判定定理證明;
(2)①根據(jù)題意畫出圖形;根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APE為等腰直角三角形,根據(jù)正方形的性質(zhì)得到△AOB為等腰直角三角形,證明△AOP∽△ABE,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到∠ABE=90°,得到答案;
②根據(jù)題意求出OB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到BE=(4-PB),求出PH,根據(jù)三角形的面積公式列式計算.
解:(1)∵AB=BC=CD=AD,
∴四邊形ABCD是菱形;
∵∠BAD=90°,
∴四邊形ABCD是正方形;
(2)①如圖,就是所畫的圖形 (圖②或圖③)結(jié)論:B、C、E三點共線.
理由:由畫圖得,PA=PE,PA⊥PE,
∴∠PAE=∠PEA=45°,
由(1)得四邊形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD,OA=OB
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∴∠PAE=∠OAB,∠PEA=∠OBA,
∴△PAE∽△OAB,
∴,
∵∠PAE=∠OAB,
∴∠PAO=∠EAB,
∴△PAO∽△EAB
∴∠POA=∠EBA=90°,
∴AB⊥BE,
∵∠ABC=90°,
∴AB⊥BC,
∴B、C、E三點共線;
②分兩種情況討論:
當(dāng)點P在線段OD上時,作PF⊥BC,如圖④,
由(1)得四邊形ABCD是正方形,
∵AC=BD=8
∴AO=B0=4,AB=
設(shè)PB=x,則PO= x-4,
由①得△PAO∽△EAB,
∴,
∴
∴
由(1)得四邊形ABCD是正方形,且PF⊥BC,
得△PBF為等腰直角三角形,
∴PF=
∴S=(4≤x≤8),
解得,(舍去);
當(dāng)點P在線段BO上時,作PE⊥BD,如圖⑤,
由(1)得四邊形ABCD是正方形,
∵AC=BD=8
∴AO=B0=4,AB=
設(shè)PB=x,則PO=4-x,
由①得△PAO∽△EAB,
∴,
∴
∴
由(1)得四邊形ABCD是正方形,且PF⊥BC,
得△PBF為等腰直角三角形,
∴PF=
∴S=(0≤x<4),
解得,;
綜上所述,當(dāng)PB為1或3或時,△PBE的面積等于.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】港珠澳大橋,從2009年開工建造,于2018年10月24日正式通車.其全長55公里,連接港珠澳三地,集橋、島、隧于一體,是世界上最長的跨海大橋.如圖是港珠澳大橋的海豚塔部分效果圖,為了測得海豚塔斜拉索頂端A距離海平面的高度,先測出斜拉索底端C到橋塔的距離(CD的長)約為100米,又在C點測得A點的仰角為30°,測得B點的俯角為20°,求斜拉索頂端A點到海平面B點的距離(AB的長).(已知≈1.73,tan20°≈0.36,結(jié)果精確到0.1)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的頂點在坐標(biāo)軸上,A,B,C三點的坐標(biāo)分別為 (0,2),(1,0),(0,-0.5),D為線段AB上-個動點(不與點A,B重合),過B,D,0三點的圓與直線BC交于點E,當(dāng)△OED面積取得最小值時,ED的長為________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下面是小如同學(xué)設(shè)計的“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程
已知:,.
求作:的外接圓.
作法:如圖,
①分別以點和為圓心,大于的長為半徑作弧,兩弧相交于,兩點;
②作直線,交于點;
③以為圓心,為半徑作.
即為所求作的圓.
根據(jù)小如同學(xué)設(shè)計的尺規(guī)作圖過程,
(1)使用直尺和圓規(guī),補(bǔ)全圖形(保留作圖痕跡).
(2)完成下面的證明:
證明:連接,,,,,
由作圖,,,
且(__________)(填推理的依據(jù)).
,
(__________)(填推理的依據(jù)).
,
,,三點在以為圓心,為直徑的圓上.
為的外接圓.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD是BC邊上的中線,四邊形ADBE是平行四邊形.
(1)求證:四邊形ADBE是矩形;
(2)求矩形ADBE的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】下表給出了代數(shù)式ax2+bx+c與x的一些對應(yīng)值:
x | … | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … |
ax2+bx+c | … | 3 |
| ﹣1 |
| 3 | … |
(1)請在表內(nèi)的空格中填入適當(dāng)?shù)臄?shù);
(2)設(shè)y=ax2+bx+c,則當(dāng)x取何值時,y<0;
(3)當(dāng)0<x<3,求x的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】對于題目“拋物線l1:(﹣1<x≤2)與直線l2:y=m(m為整數(shù))只有一個交點,確定m的值”;甲的結(jié)果是m=1或m=2;乙的結(jié)果是m=4,則( 。
A.只有甲的結(jié)果正確
B.只有乙的結(jié)果正確
C.甲、乙的結(jié)果合起來才正確
D.甲、乙的結(jié)果合起來也不正確
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】綜合與實踐:
操作與發(fā)現(xiàn):
如圖,已知A,B兩點在直線CD的同一側(cè),線段AE,BF均是直線CD的垂線段,且BF在AE的右邊,AE=2BF,將BF沿直線CD向右平移,在平移過程中,始終保持∠ABP=90°不變,BP邊與直線CD相交于點P,點G是AE的中點,連接BG.
探索與證明:求證:
(1)四邊形EFBG是矩形;
(2)△ABG∽△PBF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,△ABC和△DEC均為等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,點B,D,E在同一直線上,連接AD,BD.
(1)請?zhí)骄?/span>AD與BD之間的位置關(guān)系并證明你的結(jié)論;
(2)若AC=BC=,DC=CE= ,求線段AD的長;
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